Rokovsky函数(f(z)=1/2(z+1/z))分别将上半平面与下半平面映射成什么？ 第1页
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inversioner 网友的相关建议:
这个之前写复变函数作业遇到过。下面做的是上半平面 的情形。
令 ，则 ，且
。
设 ，上面等价于
。
当 时， 。所以 。下面考虑其他情况。令
，
则上面的参数方程可以化为 。由 的表达式知道 。另外，由 知 。所以可以把值域表示为半椭圆族：
我们证明 就是上半平面。(同理另一个是下半平面)
任取上半平面的点 。关于 的方程组
消去 得到 。设左边函数为 ，则
。
由介值性知道存在实数 使得 ，令 ，则这是方程组的一组解。从而
。
也就是说上半平面任何点都属于某一个这样的上半椭圆；而这些上半椭圆每一个都在上半平面内。所以 就是上半平面。同理 就是下半平面。
综上所述，我们把三个结果合并得到
。
这题目用分式线性变换的知识应该更好，但是我不太记得那些。。这个可能有种“高中生友好方法”的感觉。
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