线性方程组的解的结构怎么理解？ 第1页

最近读done right 有感（其实已经读了好几年了）：

①齐次方程组 的解集构成一个线性空间（所以你可以写成基础解系），实际上它就是线性变换 的核。之所以有基础解系的秩是n-k的结论，其实完全就是线性变换的rank-nullity theorem：

②非齐次方程组 的解集其实不是线性空间，它是某个解向量 与某个线性空间 的和 （被称为仿射子集或者陪集），当然我们知道这个 其实就是对应齐次方程组 的解空间。 的形式通常被解读为：某个特解加对应齐次的通解。

仿射子集有一些结论，比如下面都是等价的： ，这其实就对应了一些结论，比如如果 都是 的解向量（即 ），那么 就是对应齐次 的解向量（即 ），这个在一般的教科书上就称作什么“线性方程组解的结构”了。

③有个重要结论： 有解当且仅当 ，在线性空间的角度来看也是显然的。设 是 的矩阵表示，则 的列空间 其实就是 ，我们有 有解等价于 等价于 等价于 等价于

④最后跑一下题，由于 的解集形如 ，所以可以对这些解集定义加法与数乘。比如 ， ，然后所有这些解集连同加法与数乘就构成了一个新的线性空间，称为商空间 。甚至还可以证明 ，与抽象代数水乳交融。