这个不等式的几何意义是将这个二重积分控制在一个锥体里面。
,有 ,从该点向圆心出发的线段记为 :
于是由有限增量定理:
由于 的任意性,注意到这个估计对于任意方向都成立,于是有
没仔细计算,写一个思路。
拟微分中值定理:设 是 的凸开集, 是可微映射。则对任意 ,存在 使得
,
其中 表示Jacobian, 为Euclid矩阵范数。
原题中 不是开集,但是没关系,埋伏他一手。取正实数 并考察点 以及与它充分接近的点 ,(其中 )这样由连续性, 。从而由绝对值不等式
。
因为 是零测集,所以只需要在 积分,也就得到
令 ,则 ,得到
接下来愉快地计算积分吧!直接极坐标代换,上面最后一个积分等于
命题得证。
更进一步,可以证明右侧系数是最佳的,留作习题。