在三维空间单位球上放置n个完全一样的点电荷，怎样放置电势能最低？ 第1页

巧了，我的上一篇论文^[1]里还真遇到过类似的问题。

这篇论文研究的是金属中的氢泡，简单来说就是在金属中挖个孔洞，然后往孔洞表面和芯部放氢原子。

吸附在孔洞表面的氢是带有一定电荷的，会互相排斥。所以我要尽量均匀的在表面放n个氢，以获得能量最低的结构。

当然，论文中的情况跟本题还是稍微有些不同：一方面，孔洞表面并不是平滑的球面，存在原子级别的凹凸不平（上图中的黑线就是孔洞表面），氢在这些凹凸处的能量不完全一样；另一方面，氢-氢之间的排斥势能大约是距离的-5次幂函数，而非点电荷的-1次幂函数。

我找出来的最低能结构大致长这样（删掉了上半部分的金属原子，不然就全挡住了）：

由于答主数学功底比较差，推不出这种情况下的解析解，只能用数值方法暴力求解。当时用的是比较万金油的模拟退火算法：

1. 随便给定一个初始结构，以及初始温度T
2. 随机移动其中一个氢，改变它在表面的位置，计算此次移动带来的能量变化
3. 若，表明移动氢降低了能量，则接受此次移动
4. 若，则有以 的概率接受此次移动， 的概率撤销此次移动，其中 为玻尔兹曼常数
5. 重复2-4，并在这个过程中逐渐降低温度T

通过这样一个逐渐降温的过程，最终有很大概率（并不是一定）能找到氢原子的最稳定分布。

模拟退火算法的优势，其一在于能够避免陷入局域的亚稳态，降温速率设置合理的话，找到全局最稳态的概率还是很大的；其二在于通用&易用性，函数长啥样不用管，只需要一步步瞎跑，然后根据 概率性的选择接受/拒绝这一步就行。

如果对模拟退火算法感兴趣，也可以看看我的这篇专栏文章^[2]

参考

1. ^Predictive model of hydrogen trapping and bubbling in nanovoids in bcc metals https://www.nature.com/articles/s41563-019-0422-4
2. ^《钢铁是怎样炼成的_程序员版》——模拟退火算法原理与实例 https://zhuanlan.zhihu.com/p/47542281