感谢题主指出的问题,下面对解答做出一些修正
由 ,令 ,可得
易知
可见 单调递减且有界,从而 存在,设极限值为 ,显然
即
而当 时, ,且对任意的 ,有
从而 ,即
由此可见 单调递增趋近于正无穷大
从而由 定理可得
这里使用带 余项的 展开,由于
当
原极限
考虑极限
那么由 定理
带 余项的 展开式只需要保证在该点二阶导数值存在,对于导函数的连续性没有要求(关于这个结果,具体请参考谢惠民等编的数学分析习题课讲义,第203页,命题7.2.2)