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除了 3,4,5 以外是否还有别的三角形,它的三条边是连续自然数,它的面积也是自然数? 第1页

  

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设三角形三边为 ,则其面积为 ,所以
。这里 一定是偶数,所以令 ,得 。因为 ,所以 ,所以令 ,得 。从此式可知 ,所以令 ,得 。任意一组这方程的正整数解都对应一组原方程的正整数解 。

这方程又可写为 。注意到 也是这形式的,所以如果 和 是方程的解,那么 也是方程的解。所以方程的无穷多个解由 产生。假设还有一组解 不是这样产生的,那么 对某个 成立。两边乘 得 。这里 也满足方程,所以由左边的不等式得 都是正整数。然而正整数不可能满足右边的不等式,因此这样的 不可能存在。

综上,方程 的所有正整数解由 产生,其中 为正整数。(也就是 。)而原方程的所有正整数解为 。




  

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