有没有简单的方法确定椭圆曲线是否存在无穷多解？ 第1页

这个问题实际上就是判断椭圆的秩(rank)大于0的问题，这个放到第二部分探讨。第一部分先探讨能否找到一个椭圆曲线上的non-torsion点。

1.寻找non-torsioin点

以下仅从计算的角度谈谈找non-torsion点这个问题的复杂性。

通常来讲，椭圆曲线的系数足够小的情况下，目前的计算工具都能计算，比如sage, magma, GP/PARI, mwrank等软件。

但是有些情况，虽然系数足够简单，要找到一个non-torsion点也不容易。比如 ,一般的方法都没用，最后在03年用4-descent方法给出了一个有理点

@东城居士 还举了一个更极端的例子，曲线 ，其最小（高度最小）有理点的最大分子/分母约为 , 真是恐怖如斯。。。

至于系数更大的情况，更加没有办法。比如，随便举个例子， 是否有有理点？其中G为葛立恒数。

2.关于秩大于零的判断

以上我们说明了找到一个有理点可能会很困难，那么我们可不可以在不找到有理点的情况下判断椭圆曲线有无穷多解呢？答案是肯定的，前提是我们接受BSD猜想，这样我们可以计算其analytic rank。

通过程序，对于一些曲线，我们可以很快地计算其analytic rank,BSD猜想认为analytic rank就等于曲线的秩，于是问题有可能解决。以以上两条曲线为例，利用GP/PARI中的ellanalyticrank命令很容易判断二者的秩为1.

然而，问题又没有那么简单，因为analytic rank也不是那么简单就能算的。analytic rank的计算涉及L函数，最终归结于曲线在有限域 上的点的个数问题。

一般认为，如果椭圆曲线的秩越大，那么 会越大，其中p是素数，并且曲线在p处有good reduction, 是曲线在有限域的整点个数。研究者们通常用这个函数来筛选秩可能很大的曲线，然后想办法计算有理点，最终确定秩的下界，这方面Mestre， Nagao, Elkies都做了不少工作。最突出的工作就是06年Elkies发现的秩为28的曲线。

以下是秩r从0到28对应的S的图像。r=0,1,2,5是我自己的补充，其余曲线来自Dujella的网页（见参考资料）

总体上来讲，r越大，S越大，但又并非绝对。

这个函数其实是BSD猜想的一部分，跟秩有很密切的关系。虽然目前并没有看到确切的结论说S大于某个数就可以判定秩一定大于0，但是这个函数依然有很好的参考价值。

一些题外话

椭圆曲线领域里面一直有个问题就是，椭圆曲线秩可以多大？以前一般认为秩没有上限，但是最近几年时间有几个工作说秩是有上限的，而且torsion点越多，秩的上限越小。

但是Elkies显然不服这个结论，2020年他发表了一个结果，又打破了几个纪录，并且他在文中写道：

At the same time, our work provides, at best, limited evidence that ranks are unbounded.

总之，这个问题至今没有定论。

这段时间学习椭圆曲线方法有点心得，我喜欢把椭圆曲线称为“鱼”，寻找高秩椭圆曲线就是摸大鱼。已经有结论表明，在椭圆曲线的汪洋大海里，绝大多数都是小虾（秩为0）和小鱼（秩为1），越大的鱼越难以寻觅。至于Elkies发现的秩为28的曲线算是什么鱼暂时还没有答案。是金枪鱼，鲨鱼还是蓝鲸？如果秩为28就是哥斯拉的话，那未免也太无趣。我倒希望秩为28只是曲线之海里的安康鱼，在浩瀚无垠的深海里，还蛰伏着鱼龙、沧龙等待人们去发现。

参考资料

2009, J. H. Silverman, The arithmetic of elliptic curves

4-descent求 有理点的原文

@东城居士 原回答

如何让普通人明白数学有多复杂？ - 东城居士的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/37698481/answer/1985232145

Dujella收集的曲线秩的世界纪录

2020，Noam D. Elkies, NEW RANK RECORDS FOR ELLIPTIC CURVES HAVING RATIONAL TORSION

椭圆曲线计算工具

1.sage

sage是个大杂烩，包含了GAP（计算群论）,PARI,mwrank等工具。

2.GP/PARI

有一个对应的python包叫cypari2，可以在python调用pari函数

3.eclib/mwrank by Cremona cypari2 3.eclib/mwrank by Cremona

Cremona写的c++库，主要包含二次曲线求解、四次曲线求解、椭圆曲线2-descent方法等，最出名的就是mwrank工具。

4. magma

magma没怎么用过，但它里面的工具是最全的，不仅有2-descent方法，还有3-descent, 4-descent, 5-descent, 6-descent, 8-descent，9-descent, 12-descent, 2-power-descent等方法。各种descent方法的文档