如何证明数列sinn^2发散？ 第1页

题主应该是知道了 发散进而想探寻对于一般的整系数多项式 有 发散。然而出于完整性考虑在这里还是先证明关于 发散的一个（更强）的结果：

关于n的数列 在 上是稠密的

为了证明这个结论我们先考虑一个非常著名的结果：如果 为无理数，则所有形如 在 上稠密。任取有理数 ，设其写成既约分数形式为 ，对于任意的 ，考虑 使得 。令 （即取 的小数部分），由于 是无理数，对于所有整数 ， 。故 。令 将一个小数映射到其仅保留前 位的十进制表示。注意 的像集合是有限的，从而 也是。故存在 使得 。于是 （说得更像人话一点，上面的论述也可以直观地表述成存在 使得 的前m位小数相同，但是这样需要处理 为负数的情形）。注意到 从而存在 使得 ，从而 。取 ， 即可使得 。

笔者隐约记得在Knuth的The Art Of Computer Programming中见到过关于 的小数部分随着n的增大在 上均匀线性分布的结论。这个性质很适合一维Hash Map。

有了上面的 稠密性的结果，我们可以证明 的稠密性了。由于 是无理数， 也是无理数，从而 和 存在 使得 ，于是 ，这说明整数模除 的像在 上稠密。 函数的连续性（更严格的说是在 上的一致连续性，当然，连续函数在紧集上是一致连续的）说明 在 上稠密。上面的结论是对 证明的，引理几乎不需要修改就可以加入 的限制，从而对于自然数n也是成立的。

上面关于 稠密性的证明可以轻松推广到形如 的情形。留给题主自己证明吧，已经2点多了QAQ...

接下来就是 的了。如果 收敛到 ，那么 至少不会稠密，而是聚集到 这两个点附近。如此一来

也只会聚集到有限个值附近，这与 稠密矛盾。

一开始提到的 发散的证明也是类似的，关于 的次数进行归纳即可。具体证明请参看

上面的证明也是照搬math stackexchange中的回答，在此感谢Michael和hagen-von-eitzen的简明回答。