至少有一个素数生成公式是与黎曼猜想有那么一点点联系。
它是在 1947 年由数学家 Mills 发现的。
首先,先假设存在一个常数: 其中
接下来取形式: 得到一个函数
然后,由于这个函数所得到的值带有小数部分,为了取这个函数所得值的整数部分,对函数部分进行如下改进,得到:
那么,一个素数生成公式就得到了。同时令
特别地,这个函数公式所得到的数值的整数部分都将是一个素数。
而令这个函数公式成立的最小的 被称为 Mills Constant。
目前,
设该函数公式每一个值为
令 那么 为素数
令 那么 为素数
令 那么 为素数
...
不过这个函数公式所取得的素数并不是连续的,中间存在很大断层。
同时,这个公式并不实用,因为当 它的值就达到 的量级了...
具体的数值为:
其次,这个 必须足够精确,否则求不出素数。
特别地, 是否是有限的仍然未知。
还有,设一个 为 Mills 素数,那么 与 的关系如下:
它与黎曼猜想的联系是:
若黎曼猜想成立,则存在计算出 的另外的方法。同时得到更大的
并且,目前得到 的数值都是基于黎曼猜想成立的情况下。
Mills Constant 的存在性是已经得到证明的了。
首先,令 为第 个素数,那么有
其中 是一个固定的正整数。
Lemma. 若 为一个大于 的整数并且存在一个素数 使得
证明:令 为最大的小于 的素数,那么有 现在令 为一个大于 的素数。根据 Lemma 可以构造一个无限素数序列 使得 .
令 以及 那么有
由此可见, 是一个有界单调递增序列。
现在,令 那么:
Theorem. 是一个素数表示函数。
证明:根据 以及 那么允许有 或者 .
因此, 那么 是一个素数表示函数。
补充:事实上,这个公式具有更广义的形式:
若满足 以及 那么都会存在一个如上形式的素数生成公式。正如 @酱紫君 在评论中所说的。
首先,存在一个整数 以及另一个整数 并且它们满足以下关系:
那么有更广义的形式
其中 同样是一个固定的正整数。
Lemma. 若 为正整数同时满足 与 ;若存在一个满足 的整数 那么存在一个素数 会使得
证明:若 为最大的小于 的素数。同时使用 与 以及 那么有
现在令 为一个大于 的素数。根据 Lemma 同样可以构造一个无限素数序列 使得 同时
很容易看出 Mills 的是 的特例。令 以及 那么有
由此可见, 是一个有界单调递增序列。
现在,令 那么:
Theorem. 是一个素数表示函数。
证明:根据 以及 是一个递增序列。那么有:
因此, 那么 是一个素数表示函数。
注:原回答发布于 2019-01-21 23:10