2.什么是赫姆霍兹定理？ 第1页
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liuqi-25-7 网友的相关建议:
可能存在好多个亥姆霍兹定理，我只说说我在电动力学中学过的亥姆霍兹定理吧。
这个亥姆霍兹定理是麦克斯韦方程组能完备地描述电磁场的基础，它被表述为：如果已知一个矢量场每点的散度和旋度以及矢量场的边界值，就可以唯一地确定这个矢量场。
证明如下：
若 和 是满足条件的两个矢量场，如果矢量场不唯一，设
则
且在边界上 ，叉乘为 意味着存在一个标量场 ，使得
代入点乘为 的方程，可得
下面考察积分
其中 是边界上的面元，积分在整个场的边界上进行
利用高斯定理，有
积分对场所占据的空间进行，化简得到
因为在边界上 ，则 ，即
而已知 ， ，显然，在积分空间即场空间任意一点
说明是同一个矢量场，则亥姆霍兹定理成立。
麦克斯韦方程组给出了 和 的散度和旋度，此时若补充上边界条件，就可以完备地描述电磁场。
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