虚数在物理中有什么应用吗？ 第1页

2020-05-30

《The shortest path between two truths in the real domain passes through the complex domain.》这是法国数学家 Jacques Hadamard 的名言，那么我们可以从虚数的演进过程中，对于真理有什么更深入地理解呢？

十六世纪的数学家，在展示二次跟三次多项式的解时，用到了 、 这些带负数的根号，René Descartes 说这些数是「想像的」，Newton 更是直接说这种数「不可能」。不过，这些数字虽然不能说它们存在，但如果把它们当成实数来计算，却不会产生什么太大的矛盾。到了十八世纪，数学家更发现若是用上虚数，就可以用非常干净的形式，把指数函数跟三角函数串在一起，很简单俐落地解决一些三角函数的积分问题。再到了十九世纪，法国数学家 Augustin-Louis Cauchy 用非常严谨的方法，证明了代数基本定理：任何一个一元复系数多项式，都至少有一个复数根。他因此认为虚数虽然只是一个没有意涵的象征，但是透过它却可以导出有意涵而且精确的结果。至于另一位大名鼎鼎的数学家 Johann Carl Friedrich Gauss，他对于虚数的态度也很有趣，他最初想要不用虚数，就能证明代数基本定理，但后来却主张虚数应该要有跟实数同等的地位；他研究到后来，甚至认为那些不相信虚数的人，都觉得虚数有其隐晦之处，但那只不过是因为虚数超越了大多数人的经验而已。Cauchy 一直都认为虚数只是个便于计算的象征工具，不太同意 Gauss 的见解；但他后来自己研究过 Gauss 的观点后，反而开始谈论 Gauss 以几何观点看待虚数的论点。

虚数除了成为数学家推公式的工具以外，有没有比较贴近于现实生活的应用呢？有的，我们可以用它来画地图，画地图有个基本问题是地图是平面，但地球是球面（实际上是类球面），几何上就不一样，所以很难完全对应到现实。传统上我们用球面投影的方式画地图，虽然不能保距（地图距离对应现实距离），但是可以保角（地图方位对应现实方位），这样起码航海就不会走错方向。Gauss 证明了任何曲面都可以画出保角地图，就用到了复数跟复变数函数。虽然虚数有这样实际上的神秘作用，不过它有没有更为深刻的意义呢？十九世纪的数学家 Jean-Robert Argand 提出了一种观点，认为我们若是把 x-y 轴平面复数化（也就是把 y 轴视为虚数轴），在数学运作上就有更大的自由度。德国数学家 Bernhard Riemann 更将这个观点从平面拓展到曲面，建立起透过复数来了解曲面结构与几何意义的「黎曼面」（Riemann surface），如今是物理学上超弦理论不可或缺的数学工具。虚数由发展最初纯粹用来解多次元方程，时到今日衍生出「复变分析（complex analysis）」等等的数学理论，物理学的流体力学、电磁学甚至量子力学（简单有关虚数在量子力学中的应用可以看 [注]），工程学的信号处理、控制理论（control theory）等等众多范畴其实背后全部都牵涉到虚数运算。

从人们发现虚数、应用虚数到为虚数建立一套理论，我们可以这样的过程中学习到什么？这是西方科学很重要的一环，也就是「找出观点」。以虚数为例，因为曲面可以复数化这个「观点」，所以才能得到曲面地球画成平面地图，仍然可以做到保角的「诠释」。正如一开始，虚数不为数学家所拥抱，直到出现三次方程式 的根式解，才完全改观。如果这样还不够，请大家去了解下欧拉公式，欧拉公式让我们从 1 开始，谈到数数、算术、0、负数、几何（π）、代数、虚数、复数、指数及级数等，这条公式实在是大有内涵！

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