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关于一道数学题的解答,学而思的解答是否更好? 第1页

  

user avatar   zhai-sen-8 网友的相关建议: 
      

跑个题。最近我正在复习复变函数,看到这个忽然想到了柯西积分公式的证明。其实柯西积分公式的证明和这道题的一个方法如出一辙:

①先证明这个量是定值

②然后再取一个特殊情况算出这个值

比如说对于题主这个问题,可以按这个思路解决:(盗个 @TravorLZH 的图)

①三角形的面积是个定值:点F的轨迹是这条虚线。设对于其中两个三角形△BDF和△BDF',由于虚线与BD平行,且平行线间的距离处处相等,所以△BDF与△BDF'等底等高,故面积相等。因此这个三角形的面积是定值。

②再取一个特殊情况:比如让F落在C处,此时面积就是正方形ABCD的一半。因此不论F在哪,这个三角形的面积都是这个。

再回过头看柯西积分公式:

还是按刚才的思路:

①积分是个定值:设有两个以 为心的圆,半径分别是 (不要让它们跑出使 解析的区域)。则 这两个圆之间的环形区域内部及其边界解析,因此由柯西定理 ,即这个积分与半径 无关(之前保证定值的关键是平行→等高,这里定值的关键是柯西定理)

②再取一个特殊情况:让半径 缩小到 (类似于之前让F点落到C点上)。当然不能直接取 ,而是取一个极限。此时 ,因此 。当然这样不是很严谨,严谨的做法是利用 的解析性和积分的上界估计 。总之相当于取了一个特殊情况。


(这篇文章太水了。。。




  

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