关于一道数学题的解答，学而思的解答是否更好？ 第1页

跑个题。最近我正在复习复变函数，看到这个忽然想到了柯西积分公式的证明。其实柯西积分公式的证明和这道题的一个方法如出一辙：

①先证明这个量是定值

②然后再取一个特殊情况算出这个值

比如说对于题主这个问题，可以按这个思路解决：（盗个 @TravorLZH 的图）

①三角形的面积是个定值：点F的轨迹是这条虚线。设对于其中两个三角形△BDF和△BDF'，由于虚线与BD平行，且平行线间的距离处处相等，所以△BDF与△BDF'等底等高，故面积相等。因此这个三角形的面积是定值。

②再取一个特殊情况：比如让F落在C处，此时面积就是正方形ABCD的一半。因此不论F在哪，这个三角形的面积都是这个。

再回过头看柯西积分公式：

还是按刚才的思路：

①积分是个定值：设有两个以 为心的圆，半径分别是 （不要让它们跑出使 解析的区域）。则 这两个圆之间的环形区域内部及其边界解析，因此由柯西定理 ，即这个积分与半径 无关（之前保证定值的关键是平行→等高，这里定值的关键是柯西定理）

②再取一个特殊情况：让半径 缩小到 （类似于之前让F点落到C点上）。当然不能直接取 ，而是取一个极限。此时 ，因此 。当然这样不是很严谨，严谨的做法是利用 的解析性和积分的上界估计 。总之相当于取了一个特殊情况。

（这篇文章太水了。。。