这道函数问题怎么解决？ 第1页
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取
可得八个根分别为 ,下证此时取到最小值 。
第一步
设八个正整数根分别为 (严格递增),若 ,取 可以使 严格减小。故不妨设 。
第二步
容易证明
进而
进而
而我们知道， 恒成立,因此 个不等号均取等。
第三步
分析第 个取等条件及 的单调性,易知 对 均成立,立得 关于某点 对称。且有 (或者 )。这意味着
进而
第四步
先考虑以上不等式组取等时的情况,此时有
此时分析第 个取等条件及 的单调性,同理直接得到 关于某点对称。设
由 立即得到
故对称轴横坐标
从而 ,类似地有 ,可构造
使得 对每个 成立。
第五步
我们证明若第三步中的不等式组不取等,则 。
若 ,立即有 , ,进而 ,从而
若 ,立即有 ,进而 ,从而
综上所述, 最小值为 。
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