《数学分析》中通常会有如下关于级数收敛的性质定理:
定理
一个收敛级数,对其任意加括号后所成级数仍收敛,且其和不变.
即
其中 表示某种加括号的方式.
该命题的逆否命题为:
若级数存在一种使得该级数发散的加括号的方式,则原级数发散。
也就是说,我们只要证明上面的定理就可以了.
证:
设部分和数列 收敛,加括号后的级数部分和数列为 ,且
所以 本来就是的子列,故其亦收敛.