证明很容易
首先证明存在1000个连续正整数中一个素数也没有,证明类似于欧几里德对于素数个数无限的证明,构造一个数列为 a+2,a+3,a+4,...,a+1001, 其中a=2×3×4×...×1001 很显然这个连续整数列的每一项分别是2 3 4 ... 1001的倍数,是合数。
2-1001, 这1000个连续整数列素数个数… 具体多少不清楚反正肯定比5个多,假设是N个。
采用滑动窗口法,一个“窗口”刚好套住1000个连续整数,然后从小到大开始“滑动”,即窗口从2-1001变动到3-1002, 变动到4-1003,变动到5-1004,...,一直变动到a+2 ~ a+1001(也可以从大到小,原理类似)。很显然每一次变动前后,只改变了其中的一个数,例如从2~1001变动到3~1002相当于去掉了2,增加了1002。每一次变动对于窗口中素数的个数的影响必然只能是 +1、不变 或者-1。初始时有N>5个,终止时有0个,因为数字连续变化,那么必然在其中某一个时刻窗口中的素数个数恰好是5个。
下面认为1是合数。因为“合数”比“非素数”好听多了。
为了直观,我们把正整数列成一排。下面有一条线,这条线的长度刚好够框住1000个正整数(认为每个数都占据同样大小的位置)。这条线可以左右滑动,图中它在最左端,它可以一直往右滑。
在现在的位置,横线上有许多个素数(显然超过5个[1])和更多个合数[2]。我们需要证明的就是,它从这里一直往右滑,总有一天会滑到这样一个位置,这条横线上有5个素数和995个合数。
这条横线每向右滑一步,会吐出一个数并吞入一个数。可能的情况有四种:
1、吐出一个素数,吞入一个素数,横线上的素数个数没有变化。
2、吐出一个素数,吞入一个合数,横线上少了1个素数。
3、吐出一个合数,吞入一个素数,横线上多了1个素数。
4、吐出一个合数,吞入一个合数,横线上的素数个数没有变化。
总之,横线滑动过程中,上面的素数的个数只会一个一个地变化,不会从4个跳到6个,也不会从6个跳到4个。
而横线将会到达这样一个位置,横线画住这1000个数: 。
因为 是 中每一个数的倍数,所以 也是 的倍数, 也是 的倍数,……, 也是 的倍数。
所以,这1000个数全都是合数。在这里,横线上素数的个数是0。
在从开始滑到这里的过程中,横线上素数的个数从“许多”(超过5个)变化到了0。而这种变化是一个一个的,不会跳过任何一个数。
所以,在这之间存在一个位置,横线上恰好有5个素数。
QED.
课后习题:
在一个圆周上均匀分布着一些黑色或白色的珠子,其中黑珠子和白珠子的个数都是偶数。请证明:这个圆上存在一条弧,该弧恰包含了黑珠子的一半和白珠子的一半。
答案在精选评论。
这个东西叫做“离散的介值定理”。如果需要证明就反证法,思路大概是:假设取不到5个,既然能取到5个以下,考虑第一次取到5个以下的那个点,它的上一步至少是6个,这一步就不是一个一个变化的,矛盾。所以一定取到了5个。
可耻的引流:其他有关素数的问题(这是我写的最认真的一个回答!)
补充:这是猫。
这不是数学竞赛小蓝皮数论篇的原题吗,在这里又碰到了。
首先我们可以证明一个简单结论,素数之间的距离可以任意大。不妨考虑 n!+2 开始的连续 n-1 个数,显然它们都不是素数,得证。
进而,存在连续1000个正整数,它们都不是素数,我们定义这样一个手续:把这1000个数中最大的移出,最小的数减一加入。可以知道每进行这样一次手续,这1000个数中的素数个数加一,减一,或者不变。而当执行到1,...,1000的时候,这一千个数中的素数个数大于五个,进而一定存在某个中间过程,使得区间中恰好有五个素数。
这样的做法就是离散的介值定理。
我是一名基层派出所民警。
可以说当今中国警察普遍羡慕美国警察可以采取暴力手段绝对的镇压不法分子。
但是,不得不说,这次这位美国警察,太过分了,不仅是过分,而且我的理解是那已经构成了犯罪行为。那黑人已经制服了就可以正常上拷带走了,没必要一直压着脖子压那么长时间。没能置身其中不知现场那美国警察的所思所想,反正我个人挺不理解他为啥那样干的。
只能说无论什么地方,无论什么行业,只要是人的社会,都有像样的也有操蛋的吧。
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以下为统一答复评论中有些人质疑的我所讲的羡慕二字。
能够出现这种质疑在我料想之中,因为中国警察也有过过分的时代,据我所知就是在七十八十九十年代,就如同地痞流氓,看谁不顺眼就能打谁对老百姓而言没王法可讲,那时候的警察说好听点可以说是威风凛凛说难听点儿是横行霸道。
但我想表明的是,时过境迁,现在的中国警察无论是受舆论约束还是因为法治社会建设制度规范都已经变得逐步文明与规范起来,起码我认为从我们现在开始从公安司法院校毕业参加公务员考试考进来的新一代警察已经具备新的面目,当然不可否认的是在这个行业内目前仍然存有历史的顽疾,仍然存在着臭虫,但我已经讲过无论什么行业都有操蛋的吧,这是个人问题,不是群体问题。相比之下,拍拍良心看,现在的整个警察队伍比照曾经确实过分的年代是不是已经是天地之别,问问曾经真正挨过曾经年代老警察欺负的中老年人就知道了。
为何会说起羡慕,因为警察每天面对的人群,大多是三教九流之辈,没有武力加身,很多事情在处理上警察显得软弱无能,说白了,好人谁没事儿上派出所转悠啊都忙着自己的生活呢,警察打人这句话,我们常常听到,但是但凡有点脑袋的人都能想明白,警察会闲着没事儿干把那在家里消停待着的遵纪守法的人抓起来暴揍一顿吗?
以上言辞不免更会有人质疑,请允许我解释,武力,当然不可滥用,我所说的羡慕不是羡慕美国警察的随意滥用武力,而是在合法范围内准许在对方不听从警察指令时动用武力,现在确实有人民警察法赋予了相关权力,但实践中现在的中国警察并不能或者说不敢执行人民警察法里的所有权力。拿防疫工作举例,卡口的工作人员在让出入的人员扫码登记时,就会有不愿意配合的人,然而这些不愿意配合的人可会知道工作人员的所做所为是为了整个社区的稳定安全,因为这整个社区包括了这名不愿意配合的人啊,在这个时候是否应当对其进行武力控制来保障其他居民的安全呢。同理,警察盘查也好,调查也好,总会有那些不愿意配合的人,自我感觉良好认为自己没问题所以警察不必要对其进行盘查所以就不配合,而警察当看到对方不配合时会以什么视角审视,难道要说谢谢您的不配合吗,万一这不愿配合的人真背着案子呢,那便是对更多的人民群众的不负责任。因此,我要说,民众的素质如果真正达到了人人互相敬重路不拾遗夜不闭户的文明程度,要求警察绝对文明不要有暴力举动,一点问题没有,一味强调了警察不该暴力执法而分毫不过问被执法对象自身是否存在问题,是不是看问题的角度些微的片面了些。
请注意,我说羡慕里的那句话尾巴实际已经表明了,羡慕的是暴力手段对不法分子的镇压,可不是对遵纪守法的百姓也要肆意妄为。例如像给群众办个身份证居住证之类的业务,警察当然应该热心服务。但当面对泼皮无赖时,还要笑脸相迎,得来的只有蹬鼻子上脸,警察都不怕了,您们认为这些无赖还有谁管得了。
列位存有异议的同志们,谢谢您们的教诲。言辞中犀利的同志们,谢谢您们的敦促。
让我知道当警察,需要吾日三省吾身。
还想要质疑甚或是骂的您们,若是能让您舒服,骂两句无妨。我不算您辱骂警察。不过是,道不同不相为谋罢了吧。
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2020年6月5日22:53 出警在路上