是否存在一个次数不低于 2 的整系数多项式，在任何素数处的取值都是素数？ 第1页

不存在。

证明：在证明之前，我们先叙述一个引理。

定理(Dirichlet)：给定自然数a,b. 若a,b互质，则存在无穷多自然数k使得(ak+b)是素数。

下面我们来证明原命题。设 是满足题目条件的多项式. 对任意素数 , 由条件知 是素数。若 , 则由Dirichelet定理知，存在无穷多自然数 使得 是素数。此时，

但由条件， 是素数表明 是素数，因此由上式可推出

考虑多项式 . 之前的讨论表明有无穷多个 使得 , 因此 恒等于零. 换言之， 恒成立. 这表明 是一个常值多项式，即有 . //为看出这点，令 . 当 是非常值多项式时， 会趋向于正无穷.

因此，当 不是常值多项式时，一定有 . 考虑多项式 , 则 对任意素数 均成立. 换言之， 有无穷多个零点，因此 , 即 .

综上，满足条件的多项式只可能是常值多项式 或者是 .

评论区有人提出了进一步的问题：如果 是一个实系数多项式，该命题还对吗？当然，这个问题提的比较模糊，因为实系数多项式在素数处的取值未必是整数，当然更不一定是素数了。为此，我们把这个问题更精细化：

问题：设 是一个实系数多项式，且对任意素数 , 均有 是素数，那么 除了常值多项式和一次多项式外，还有其它可能吗？

首先我们注意到， 的系数一定是有理数（Hint: 的系数满足一个系数都是整数的线性方程组）。因此，原问题就变成：

等价问题：设 是整数， 是整系数多项式。若对任意素数 , 均存在素数 使得 , 求证 只能是常值多项式或者一次多项式。

(Hint: 将有理系数多项式 写成 的形式即可看出。)

我们可以效仿之前的办法：对任意整数 以及质数 , 我们有：

因此 .

和之前一样，我们分两种情况讨论：

case1: 存在 使得 . 此时，存在无穷多 使得 是素数。和之前讨论类似，这意味着 是常值多项式。

case2: 对任意 均有 . 那么，对任意 , 我们有 . 因为满足 的素数 有无穷多个，因此这表明 .

证闭。

补充一些细节吧（主要是打字太烦了，但想了想还是说清楚比较好。）

关于第一个Hint:

设 , 则 满足下面的线性方程组：