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4x5的表写入20个不同正整数,相邻数不互质,表中最大的数至少是多少? 第1页

  

user avatar   richard-xu-25 网友的相关建议: 
      

首先注意到,如果我们取了任意素数p,为了让它和相邻的数不互质,我们得取它的至少两个倍数;进一步地,如果这个素数p>10,那么表中最大的数至少是3p>30。

反之,如果我们排除掉大于10的素数,此时自小到大取20个数(注意1也不能取)应该是:

2、3、4、5、6、7、8、9、10、12、14、15、16、18、20、21、22、24、25、26

下面我们尝试一下可不可以把这20个数排成满足题意的形状,为此先分一下组:

a) 7的倍数:7、14、21

b) 5的倍数:5、10、15、20、25

c) 不在a)和b)中的3的倍数:3、6、9、12、18、24

d) 其它:2、4、8、16、22、26

a)组中7必须占据一个角落,因为只有同组的另外两个数和它不互质;同理,b)组中5和25应当贴在一起并占据一个角落,c)组中3和9应当贴在一起并尽量占据一个角落。经过尝试可以得到下图:

5 20 d d d
25 10 d d d
15 6 18 24 14
3 9 12 21 7

其中d表示d组的任意一个偶数。


综上,表中最大的数的最小可能取值是26。




  

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