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过两给定的点平分圆面积的最短曲线是什么？第1页

zeng-jia-xi-96 网友的相关建议:

变分法过于暴力了，我们简单一点，用初中几何+等周定理来做

如图，方便起见我们令两定点关于y轴对称且在单位圆上，然后先找到平分面积的圆弧。这里假定，对于的情形易知最短的是直径，对于由等周定理简单得是内切圆

蓝色弓形的面积为 ,因此红色部分的面积为

用表示为

由可以确定的值，从而确定圆心O的位置。

接下来，我们画出两定点在圆O上对应的劣弧，其与单位圆上的劣弧围成一个固定区域（黄色部分），其面积为，具体值无关紧要。

现在，假定有一条曲线过F和F'且平分圆面积，则和围成封闭曲线，其包围的面积为等于圆O面积。根据等周定理，其周长必定不小于圆O的周长，从而的总长必定不小于优弧的长度；取到等号时必然是圆，因此最小值点是唯一的。

综上所述，过两给定点且平分圆面积的最短曲线是圆弧（或直径），其圆心位置需要解一个超越方程才能得到。

Huxley-84-43 网友的相关建议:

估算一个上界。思路是每一轮都寻求一条最短线段，将当前包含天使的多边形，按面积等分成两个新的子多边形。再假设天使的运气足够好，每次都瞬移到等分效率较低的子多边形。

直观看出，取平行于正三角形一条边的线段来等分其面积，等分效率最高。令此线段长度，三角形边长，则：

这样，初始正三角形被分成一个新的小正三角形和一个等腰梯形，易见等腰梯形的等分效率远高于新的小正三角形，于是根据假设，天使将瞬移到新的小正三角形当中。如此循环，至于无穷，天使将被锁定在初始正三角形的一个顶点。计算魔鬼走过的耗时路程：

记魔鬼速度，则捉住天使的时间：

这个题目如此离散，不借助于数值离散优化不易得到全局最优解，建议大家来改进这个上界吧。

按照 @yyx 说的圆弧线等分正三角形以及后续的扇形，上界可以改进为：

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