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思考一个问题,任意给定一个非零有理数和一个无理数,能否通过加减(可以无限次)使极限收敛到整个实数集? 第1页

  

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可以。

给定有理数 ,将其写成既约分数 。给定无理数 ,令无理数 。

设 表示一个实数的小数部分。对于一个无理数 ,一个熟知的结论是, 全是无理数,并且在 上稠密。所以对于任意的 , 存在整数 ,使得 。对于任意实数 ,都可以用 的整数倍近似,误差不超过 。所以,形如 的数可以逼近任意实数。所以,形如 的数也可以逼近任何实数。




  

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