一道多元微积分题目?感觉是有限集怎么证明? 第1页
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wang-zheng-12-87 网友的相关建议:
这是动力系统里面一个比较经典的定理了。我先把定理叙述一下。
设 是一个度量空间， 是连续映射。我们称 是positively expansive，如果存在正常数 ，使得对任何 ，都存在非负整数 ，使得 .
定理 如果 是紧度量空间， 是连续的positively expansive单射，那么 是有限集。
有了关键词，去Google的话能搜到很多证明。我这里列一个ref：
按照这篇文章的说法，这个定理最早是1952年S. Schwartzman证明的。这篇里面的证明很短，也很初等，如果有兴趣的话读一下感觉不太费时间。
差点忘记说了，z打到z^n，n正整数，就是positively expansive map。特别地，n=3就是题主给的映射，限制在Omega上也是，因此根据定理，Omega是有限集。不过我不知道在这个特殊的情形下有没有更直接的证明，不过考虑到定理的证明也就半页纸，索性就不多想了。
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