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一道多元微积分题目?感觉是有限集怎么证明? 第1页

  

user avatar   wang-zheng-12-87 网友的相关建议: 
      

这是动力系统里面一个比较经典的定理了。我先把定理叙述一下。

设 是一个度量空间, 是连续映射。我们称 是positively expansive,如果存在正常数 ,使得对任何 ,都存在非负整数 ,使得 .

定理 如果 是紧度量空间, 是连续的positively expansive单射,那么 是有限集。

有了关键词,去Google的话能搜到很多证明。我这里列一个ref:

按照这篇文章的说法,这个定理最早是1952年S. Schwartzman证明的。这篇里面的证明很短,也很初等,如果有兴趣的话读一下感觉不太费时间。

差点忘记说了,z打到z^n,n正整数,就是positively expansive map。特别地,n=3就是题主给的映射,限制在Omega上也是,因此根据定理,Omega是有限集。不过我不知道在这个特殊的情形下有没有更直接的证明,不过考虑到定理的证明也就半页纸,索性就不多想了。




  

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