1-2+3-4+5+… 是否等于 1/4？ 1+2+3+4+5+6+7+… 是否等于 -1/12 ？ 第1页

关于这个问题，大概两年前我写过一篇讨论的文章。这里贴出来，仅供大家讨论。如果文中有不准确之处，欢迎指出。

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◆ 惊人的等式

就在前几天吧，Numberphile的两期节目在人人上很是火了一阵。缘由无非是这两个视频给出了两个看似匪夷所思的等式。

第一期告诉我们格兰迪(Grandi)级数等于1/2。

第二期的结论似乎更惊悚，全体自然数之和等于-1/12！

怎么可能？That is impossible！相信这是大多数人的第一反应。

然而视频中甚至拿出了Joseph Polchinski所著的《STRING THEORY》一书为证，用来告诉我们这个式子的结论着实广泛应用于物理相关领域。虽然我不懂物理，但这本书看上去不太像是一个民间科学家自己在家倒腾然后所著的，那么姑且可以把我们的态度从不屑一顾上升到将信将疑吧~

现在，不妨从头梳理一遍，让我们看一看，这期间究竟隐藏着怎样的数学内幕。

◆ 看似简洁易懂的推导

姑且先把两个结论正确与否的讨论放下，我们先来看看视频里是怎样让我们相信这两个等式是正确的。

首先是格兰迪级数S1：

过程一目了然。接下来是全体自然数之和，可能稍微麻烦一点：

证明分为两个步骤，第一步先求了一个中间级数S2的值

第二步便是我们需要的结果

看上去轻松愉快的证明，小学生都能看懂。简直是无懈可击……吗？

◆ 非民科们的抨击

没错，这是一个小学生都能看的懂的证明，不过我相信一个中学文化水平的人就已经能察觉到充斥在证明过程中的别扭感了。当然，如果你是一个大学生，并且在微积分的课堂上还算听过课，那么一定能一针见血的指出视频中这些证明的一个巨大的bug：

在无穷级数中，只有绝对收敛的无穷级数才可以重新排列各项而不改变收敛值。也就是说，对于非绝对收敛的无穷级数，不能任意更改求和次序！这也就是黎曼(Riemann)级数定理，也叫黎曼重排定理。

可以说，视频中的证明过程充斥着民科的味道。从S1=1/2的证明开始，无时不刻不在肆意改变着级数求和的次序，用一些看起来精巧的“移项变号”、“错位相减”的手法，得到了一个似乎正确的让人信服的结果。可惜的是，从严谨的数学角度上看，上面所有的证明过程，完全不成立。

确实，各种论坛里最常见的对待该问题的论调大致到此为止：格兰迪级数是一个发散的级数，不能求和，从S1=1/2开始，所有的论证都是错的，后面的没必要看了。

看上去好像是一群国外的深井冰在试图糊弄着愚笨的欧洲人民，可惜流传到中国，中国学生的数学底蕴远远超乎那群英国佬的想象，一眼看破真相。民科再一次被火眼金睛的我们所识破，一切都是一个笑话罢了。

然而，真的到此为止了吗？这群英国佬当真只是无聊深井冰？貌似视频里的那个Tony还是诺丁汉大学的物理学家。啊呀呀，这么大的来头只是为了开个大众玩笑么？如果是错的，为什么这个式子会在物理学上有着深刻的影响与应用？

我们应该更冷静的思考一下，这式子的背后究竟是什么。

◆ 我们在求什么

事实上，就像在中学时，老师为了向学生们说明为什么圆锥的体积是同底等高圆柱体积的三分之一时，只是用一个圆锥型容器装了三次水然后正好倒满一个同底等高的圆柱型容器一样。中学老师不会真正给你讲述重积分的计算，Tony也不会真正告诉你全体自然数求和的数学背景。这些看上去是充满漏洞，其实只是为了给你演示这个结论的存在，而非严格意义上的证明。

为了追根溯源，我们应当先理解一个本质上的问题：我们在求什么？

看上去又是一个咬文嚼字的问题，但如果只是玩文字游戏扣定义细节，那我也没有写这些的必要了。

没错，我们是在求“和”，这个答案显而易见。然而，“和”的概念是怎样而来的呢？

对于有穷个数的相加，“和”的确定是无可争议的——加起来得到什么就是什么。

然而一旦被加数的项数变成了无穷大，我们就很难直接把我们要求的这个“和”给立马拎出来，而是需要用到极限的思想，去对我们的“和”进行一个逼近。

在大多数人接触到的传统的数学中，无穷级数的和是由这个级数前n项和来逼近的。

换句话说，对于一个级数

我们对它的前n项进行求和，得到一个数列{An}，其中

是这个级数的前n项和，如果数列{An}收敛于A

则我们说该级数和为A。

以上，我们严格的给出了一个级数求和的方式：用级数的前n项和去逼近其真实的值。按这种方式，我们得到的和是所谓的柯西(Cauchy)和。

我们有理由相信按照柯西和的方式求得的“和”是正确且严谨的，但是，我们有什么理由相信，就不存在其它的同样正确而严谨的途径，来求得无穷级数的“和”呢？

意大利数学家切萨罗(Cesàro)，就提出了另一种方式去让我们求得无穷级数的“和”，同样利用极限去逼近，但切萨罗却是利用前n项的部分和的平均来完成这件事。切萨罗定义了一个新的数列{Cn}，其中

是这个级数的前n项部分和的平均，如果数列{Cn}收敛于C

则我们说该级数的和为C。

可以证明，如果级数在柯西和下求得结果为α，那么在切萨罗和下结果与柯西保持一致，也为α。

关于切萨罗和与柯西和的比较，我们暂且绕开计算复杂度不表，仅仅从数学的严谨性上来看，我们完全找不到一个理由去说：柯西和优于切萨罗和。我们应该认为，这两种求和的方式，起码在数学地位上是平等的。

无独有偶，对于无穷级数“和”的定义，除了切萨罗和外，还有阿贝尔(Abel)和、拉玛努金(Ramanujan)和等等，切萨罗还对上述求和进行推广，给出了广义切萨罗求和的概念。我们不应该在我们仅仅了解柯西和的情况下去否认这些各式各样的“和”的正确性。

但似乎切萨罗这群数学家们在干一件费力不讨好的事情，柯西和的定义不仅直观而且便于计算，得到的结果也不算糟糕，那么，刚刚说到的这些人们，是不是只是在做无用功呢？

◆ 一二三四，再来一次

了解了我们在求什么，我们重新回到最开始的问题上。这次我们用理性的，科学的方式重新对刚刚那几个级数求一次和。

首先是格兰迪级数S1：

显然，柯西和似乎在这里并不适用了，格兰迪级数的前n项和An是在1、0之间摆动的一个数列，并没有收敛于某个数。如果我们手头只有柯西和这个工具，那么我们也只能对这个看似简单的级数束手无策，悻悻作罢。

这个时候，如果用切萨罗的方法求和又会怎样呢？

我们来分别计算一下{An}与{Cn}，看看能得到怎样的结果：

可以看到，虽然柯西和不存在，但是切萨罗平均得到的数列却拥有极限1/2。所以，我们可以说，格兰迪级数具有切萨罗和为1/2。

我们发现，切萨罗求和比柯西和不仅是相容的（即柯西和若存在，则切萨罗和存在且与柯西和相同），而且在柯西和无法解决的发散级数中，切萨罗和也有着用武之地。

不仅仅是切萨罗和，前文提到的阿贝尔和、拉玛努金和等等求和，都可以处理格兰迪级数，并且得到一致的结果——1/2。

就好像无理数将有理数域扩充为实数域，虚数将实数域扩充为复数域。各式各样新的求和方式让我们对级数的本质有了更深刻的认识，对于发散级数那无穷个加号背后蕴含的东西，我们终于可以去进行理论计算，而非望洋兴叹。

现在，我们再来看看S2，这个呈增幅趋势正负摆动的级数是不是又像视频中所说，等于1/4呢？

如果你拿出纸笔计算一下，你会遗憾的发现，级数S2做切萨罗平均后得到的数列{Cn}并不收敛。我们似乎又碰到了麻烦。难道S2就真的无法求和了吗？

广义切萨罗求和再一次帮助我们解决了这个问题。这次我们是用前n项的部分和的平均的平均来逼近数列的和。

为了不使文章充斥太多的符号和计算过程而显得晦涩难懂，在这里就不进行具体的计算，有兴趣的同学可以在切萨罗求和的维基百科中看到相关的定义（我承认是太懒不想算这么多复杂的通项，但确实目测加估计过了= =不要在意这些细节）。

在二阶切萨罗平均数列的逼近下，我们的的确确的求得了一个极限——1/4，这个和正是视频中给出的答案。同样，阿贝尔和、拉玛努金和也均一致得到这个正确的结论。

最后，就到了最让人不能接受的那个等式——自然数之和等于-1/12。

如果你动手算了，你会沮丧的发现，无论是柯西和、切萨罗和、广义切萨罗和（哪怕推广到无穷阶）还是阿贝尔和，对于全体自然数相加这个级数，居然都无能为力——似乎无论用什么办法去逼近这个和，得到的都是发散的结果。

然而拉玛努金和，却给出了这个正确的结果：-1/12。

求的拉玛努金和的具体过程，艰深而复杂。无法在文章中给出证明，但我们已经知道，-1/12这样一个数字，并不是靠一个简单的数学把戏凭空捏造的，这其中涉及到相当有趣且深奥的数学理论。

◆ 想更多一点

这篇小文章的最后，让我们再想多一点点。

在第一个视频中，视频的制作者留下了一个有趣的问题：假设房间里有一盏灯，一分钟之后将它打开，30秒后关上，15秒再打开，以后每次操作时间减半，那么2分钟时，灯处于什么状态？

忽略普朗克时间等因素不做讨论，我们从纯思维上的去考虑这个问题，就会发现，格兰迪级数的切萨罗和1/2反映的不正是反应了一个物理上的叠加态吗？

又如视频中所说，全体自然数之和等于-1/12，物理上确实已经有相应的实验从统计量角度验证了这个等式的成立，并且该结论被广泛应用于弦论当中。（好吧，我物理真的不好如果说错了求别打脸。）另外关于这个等式，还有很多种证明，其中最简明的应该是黎曼ζ函数在-1处的解得延拓。

说到物理，我想起昨天一位朋友说了这样一段话：“物理总是通过一些方法使数学尽量满足和服务于他，而数学应该是严谨的有理有据的吧。”我却不能赞同这样的说法。

我认为数学美于物理，不是因为数学比物理更严谨，而是数学比物理更清晰。数学建立于干净简明的公理体系之上，而物理建立于突兀生硬的宇宙物理常数之上。我相信物理的世界同样严谨而自洽。

这就好像马赛克铺成的地板一样无缝，但我更喜欢整块的大理石瓷砖。

◆ 一些参考

两个视频连接：

第一期：表情帝讲解 1加1减1加1...=0.5_视频在线观看

第二期：所有自然数之和

维基百科：

格兰迪级数：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A0%BC%E8%98%AD%E8%BF%AA%E7%B4%9A%E6%95%B8

切萨罗求和：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%88%87%E8%90%A8%E7%BD%97%E6%B1%82%E5%92%8C

拉玛努金求和：http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation

黎曼ζ函数：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%BB%8E%E6%9B%BCzeta%E5%87%BD%E6%95%B0

题主应该问如何理解 1+2+3...=-1/12 的意义，而不应该问是否等于。

如果问是否等于，那这取决于”等于“的定义。这个式子是 ramanujan 求和，在”某个“定义下成立。

所以，我想题主大概真正想问的也许这类式子背后的意义是什么？ 初等数学/初等物理/其他学科 里都应该不会接触到需要这个式子的场景，要理解动机并不容易。我下面给一个尽可能简单的解释，这需要你对泰勒级数以及初等物理有一点了解。

在最前沿的物理理论中，我们想要描述的物理系统往往是非常复杂的，复杂到我们仅仅只知道如何去”微绕计算“。意思是，这个物理系统包含某个参量 λ，然后系统有一系列的可观测量。我们的理论仅仅知道，当 λ 很小的时候，可观测量可以写成 λ 的泰勒级数，然后我们知道如何去逐阶的计算泰勒级数的系数。

注意，这和工程上的逐级近似计算是不同的。你把泰勒级数用于工程近似计算，那个理论本身是完全知道的，理论的定义是清晰的。而我上面说这种情况，是 理论本身 就是在逐级展开的意义下，我们把这种理论叫做微扰论( perturbative theory )。那么精确的理论是什么？比如，如果 λ 并不小，我们如何计算对应的物理量？ 很抱歉，没人确切的知晓，这是个悬而未决的大问题，也是理论物理中引导人们思考的中心问题（如果你解决了，可以从 clay institution 得到一百万美元）。

注意，我说的是”没人确切的知晓“，而不是”一无所知“。事实上，我们有种种推测方式。例如，如果我们知道 λ 很小的时候，某个物理量是 1+λ+λ^2+λ^3.... 。那么，当 λ 并不小，例如， 当 λ=2 的时候，这个物理量会是多少呢？如果我们直接去计算，会得到 1+2+4+... 发散。但我们确信物理量是不可能发散的。那么很有可能，其实精确解(exact，而不是 accurate) 是 1/(1-λ)，然后由于我们的无能，我们的理论仅仅只能定义在泰勒展开的意义下，所以理论在定义之初就做了一个错误的 泰勒展开，所以我们得到发散的结果。

但，发散的结果并非没有意义。如果你计算常见的初等函数的泰勒级数，你会发现除了 1/(1-λ) 之外，没有哪个函数能给出 1+λ+λ^2+λ^3... 这个表达式。事实上，数学定理（ uniqueness of analytic continuation）保证了“解析”函数之中，只有 1/(1-λ) 具有这样的展开式。所以，我们的推测很有可能是靠谱的。

上面这个故事真正的启示就是，发散级数中存在“信息”。如果我们足够聪明，我们就可以从这些蛛丝马迹中提取出真相。总结成一句话，就是

Series don't diverge for no reason; it is not a capricious thing. The divergence of
a series must reflect its cause. ---M. V. Berry

回到楼主这个问题。假设你在某个理论中计算一个物理量，比如能量 E，得到一个表达式 E=1+2+3... 。你如何知道，这个式子就是真正精确（exact，而非 accurate）的呢？事实上，我们知道这不可能是精确的，因为能量不可能发散。那么，说不定真正精确的表达式也许是

E=1^s+2^s+3^s+...

然后我们的理论仅仅只关注了 s->1 这个极限？！ 假设如此，则我们一开始就犯了个错误，因为这个式子的求和与取极限并不能交换。先极限后求和，结果发散。而先求和，结果是 zeta(-s)，再取极限，得到 -1/12。

你也许会问，为什么精确解会是

E=1^s+2^s+3^s+... , lim s->1

为什么不是

E=1^(1+s)+2^(1+2s)+3^(1+3s)+... , lim s->0

呢？

其实你可以构造出无数个式子，其先极限后求和的结果是 1+2+3+... 。如果先求和后极限，他们可能会得到不同的结果（发散级数可能有不同的求和方式）。 那么，我们如何知道 E=1^s+2^s+3^s+... , lim s->1 这个式子是对的呢？

事实上，大部分时候我们不知道。玩这种游戏的时候，结果往往只是种推测。但这种推测可以引导我们去分析问题。例如，1+2+3...=-1/12 这个式子用于弦论在 lightcone 量子化框架下计算能量，之后人们发现可以用另一个框架 BRST 量子化计算能量。后者无需 1+2+3...=-1/12 也仍然得到和前者一样结果。

通常而言，诉诸于这类危险操作得到的单个结果并不完全可信。但我们会从不同的框架去判断，有时会和实验/数值模拟对比，如果相互之间的结果都自洽，那我们就相信这是对的。这就是物理学家的思考方式。

这个回答真的展示了现在反智主义多么严重。我在回答中反反复复强调了，这个“证明”是非常规的，需要定义增补。但不是没有意义，每一种方式，都是非平凡（non-trivial）的。每一种方式，都在复分析，量子场论或者弦理论中有不同程度的应用。我不知道有多少人上来看都不看，凭着直觉给我点反对和没有帮助。我第一次看到这个等式，我也是惊讶，然后慢慢思考是不是各种推导方式哪里有问题。当然，这些推导都做出了非常规的假设，但是这些假设都是合理的增补延拓，而且他们在实际学科中有着应用。

我最近看了比较多的资料，这些到达-1/12的“操作”，很多数学家有研究，目前为止，没有一个是well defined的，但是这里罗列的，也没有一个是完全被证明不自洽的。数学家们也认为，这些“操作”值得研究完善。况且，它们在很多应用中已经显示了实际意义。举个例子，现代物理，很多计算，算到最后，都设计发散数列，求和，物理学家都在等待自己的“黎曼”，外科手术式的切除“无穷大”，给这些计算赋予有意义的值。从某种意义上，物理学家们在等待数学的发展。这时候，数学家们冷着脸说，别等了，毫无意义的，我们的科学将的未来将是多么的灰暗？那些急着把这些操作扔进垃圾桶的知友，且慢。

题里面的某位答主，我真的劝你静下心来，做好功课，别看到一个和你直觉不符合的事物就斥其为异端，毕竟数学不是宗教。照你这个态度，非欧几何没法诞生，透视几何也没办法诞生，负数也不能开平方，都是“数学玩笑”。

另外，你反驳我的那个等式，说我暗示了 “ 1+无穷=2+无穷”。 再仔细看看那个“证明”，没有哪个地方能得到这个式子，“无穷"根本就不在正整数集合里面，它从来就没有出现在计算中，我更加没有暗示等式两边可以约掉正无穷，我看倒是你做了许多“想当然”，然后把结论塞到我嘴里指控我。这样真的合适么？

我看到很多的知友，言辞激烈的讽刺我误人子弟。我给你造成了不好的映像，惹你们生气，我道歉，我也会注意修改自己答案。但是我已经尽可能的使用中立的词汇，处处标明了这里那里做改动的危险性。在修改答案的过程中，我用我自己的业余时间做做这方面的research，也和一些数学系的朋友讨论，有新的启示，我会及时更新在答案里。我真诚的希望大家在讨论数学问题的时候，不要一副卫道士的姿态。在科学上，改编星际迷航的一句话：

Science: the final frontier. Its mission: to explore strange new worlds, to seek out answers and new explanations, to boldly go where no man has gone before.

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结论：是的（kind of）

第一个解释涉及一些高等数学的知识，中途一些证明我也跳过了，有兴趣的同学可以自己百度；缺乏这样知识的同学，或者没耐性的，请看第二个，当然，第二个证明有“耍滑头”的嫌疑。

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黎曼Zeta函数：Riemann zeta functionζ(s) ：