数学类课程定理的复杂证明有必要掌握吗？ 第1页

谢邀。我们在这里为您提供一些建议，希望对您的学习有帮助。

• 在解答“有必要掌握证明”之前，我们先要澄清一点：学数学并不是去对着课本检查逻辑。一个定理，一套理论，对你而言重要的应该是它的直观意义、例子、应用，其次才是证明。这里有个陷阱——很多人学数学靠得就是熟练证明，并且在考试中表现地不错，以致于有一种错觉认为学数学就是在不断地“check details”。这其中的原因是大部分人所接触的数学都可以通过“检查逻辑”的方式而理解，然而一旦遇到超过你之前认知范围的数学时，你发现再也无法通过“检查逻辑”的方式学懂了。比如我们举一个极端的例子：你仅仅通过“check details”的方式学习了很多分析的课程，例如微积分/数学分析、实分析、复分析、古典调和分析，而从未接触过其它代数的课程，那么一旦你遇到例如下面这种代数几何里基本命题：

性质. 假设 是两个概形之间的Galois态射， 是 etale site 上的一个presheaf，并且 。那么 是一个sheaf当且仅当 诱导出同构 。

如果你按照“检查逻辑”的方式，即便你知道上面命题里每一个对你来说新名词的含义，即便读了证明，但过几天后，你可能想不起来任何东西，除了一堆逻辑推导。这是没有任何意义的学习。但是你为什么觉得微积分中值定理里面的证明“简单”呢？实际上，是因为它们太直观了！你很容易就相信它们是对的！而且你仅仅需要 语言，就可以把你认为对的东西正确地写下来！

• 那现在的问题就是，怎么才能做到理解定理的直观意义，让自己觉得它是natural的呢？这是一个很多知友和数学话题下的大V都提到过的问题。简言之，数学是"highly-motivated"的，也就是说，每一个定义都有动机和目的，无论这个目的是为了解决“实际问题”还是数学内部的问题。我们在此不多言，只想借用Atiyah的话：

“我总是试图挖掘事物背后的原理，所以如果我有一个公式，我就会去理解它为什么是这样。理解是一个非常困难的概念。人们认为数学的开始是你写下一个定理并附带证明。这不是开始，这是结束。对我来说，数学的创造性在你动手在纸上写字之前。你描绘不同的事物，在脑海中反复思考。你尝试的创作，就像音乐家试图创作音乐，或诗人写诗一样。这个过程没有可以遵循的规律，你必须找到自己的方法。但到了最后，就像作曲家必须写下乐谱一样，你必须把它写下来。但最重要的一步是理解。证明公式本身可能不能让你理解。”

• 最后的建议：先去理解你目前所学的定积分这部分的核心想法，比如，你所学的定积分是如何利用 语言严格地描述直观想法”通过无限细分图形成长方形来逼近原图形的面积“的？当你觉得理解了，这些性质可以让你觉得是对的，再去过证明就是相对容易的事情。至于要不要每个性质都细致地过一遍，这个其实因人而异——除了考试，你可能在以后的学习不会用到这些技术，即便遇到了，你也可以很快地捡起来。

其实，当你做到上面所说的以后，你可能会感到惊讶，因为这里的直观想法”通过无限细分图形成长方形来逼近原图形的面积“是一个非常naive的事情，因为这个idea甚至一个小学生都可以理解！所以剩下所有的精华部分就是 语言的引入了！然而数学的美妙远远不止于此，倘若你有幸去接触Grothendieck的理论，你再去回想Atiya所说的“数学的创造性在你动手在纸上写字之前。你描绘不同的事物，在脑海中反复思考”，那么你一定会惊讶于数学在思想层面上竟然可以像哲学一样深刻。不幸的是，当大众还由于传统、落后的应试教育对数学抱有误解时，数学本身已经发展到了大众甚至很多数学工作者也不能理解的深刻程度，这就对科普、以及向非数学专业学生普及较为合理的学习方式造成了极大的难度。当然，根据题主所描述的目的，你所需要的数学还不会让你学起来太吃力，只要你多思考motivation、直观感觉、技术细节，还是问题不大的。