卓里奇的《数学分析》怎么样？ 第1页

先说结论：卓里奇这本书，让学过微积分/数分的人拿来复习一下是好的；但对99%的国内大一新生来说，强烈不建议用这本书初学微积分/数分。

第一卷除了极限一章引入滤子基，连续函数一章有一些有意思的结论，以及多元函数微分一章讲了Morse引理，并没有多少超出一般数分教材的内容。至于实数理论一章，我初读时也觉得直接摆四组公理太粗暴，远不如戴德金分割优美（特别地，实数的完备性可以看作是戴德金分割构造的产物，但这里要当作公理）。然而，作者在前言里已经强调：不要把过多精力放在实数理论上。因此，这种讲法如若能让初学者快速过掉实数理论，不失为一种选项。

第二卷，我个人最喜欢的部分是第13、14章，用微分形式的语言讲曲线积分、曲面积分、场论等内容，用统一的观点串联起三大公式（格林公式、高斯公式和斯托克斯公式），是本卷的精华所在，由此自然地导出第15章（流形上微分形式的积分学）。但是对于初学者来说，微分形式属于偏难的内容。如果这两章看不懂的话，我的建议是去找本古典数分教材，比如菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第三卷，把曲线积分、曲面积分搞明白，最重要的是要把三大公式搞熟。

本卷第11章讲重积分，其实是把实分析里讲Lebesgue测度与积分的那一套思路用到了黎曼积分上，优点是对于后续学习是个铺垫，缺点也很明显：一是对于测度的叙述过于简略，例子也少；二是对于学过实分析的人来说，限于黎曼积分会有种高不成低不就的感觉；三是本章计算题太少，初学者学了却不会算重积分是个潜在问题。现实情况就是国内的大一新生绝大部分连微积分都没学过，用这样的方式打开重积分极有可能会出问题，好比内功不够却要强修某本武林秘籍（的弱化版），结果走火入魔；还不如老老实实跟着一本古典分析教材学好二重积分、三重积分，之后直接去学Lebesgue测度与积分。

第11章有一个重头戏，就是重积分换元定理的证明，正如刘思齐老师说的，对于一本数学分析书，重积分换元定理的证明都是一大看点，也是评价该书的重要指标之一。卓里奇给出了一个严格证明，但是他把战线拖得太长。试想，一个数学分析刚学了一个多学期的学生，就得硬着头皮去啃一个长达八九页的证明，是极大的挑战，因为初学者对于长证明很容易只见树木不见森林——努力啃完了证明的每一个细节，却把big picture给忘了。相形之下，Baby Rudin处理得最好，它先介绍了一些前置概念，比如本原映射、单位分解，最后把重积分换元定理的证明控制在一页。再如Spivak的书，也是给出的条件比卓里奇弱，而且证明更短。所以我觉得卓里奇这本书在重积分换元定理这块是有改进空间的。（注：本书第七版附录里给出了另一个证明，正是遵循他在11.5节开头给出的那个sketch of proof，总算压缩到三页，而且没涉及单位分解，算是一大改进）

本卷还有几章是打了星号的，颇具争议。第9章对点集拓扑做了一个非正式介绍，第10章又将多元函数微分学推广到一般的线性赋范空间上去，第15章介绍了流形上的积分学（属于近代微分几何的内容）和de Rham理论。传统上这些内容都属于数学系后续课程。作者想拔高观点，又限于篇幅，只能讲得相当粗略。我是在毕业以后才去读卓里奇的，后续课程都学过，有些题目尚且要去翻看Munkres, Lee等人的教材，因此很担心大一学生仅凭这么简短的课文，如何做得来书上的习题；即使勉强做出来，要花多大的精力？用1倍的时间读课文，再用5倍的时间去啃这些系统学习了后续课程即可解决的问题，值不值得？更何况，还有些题目难度特别大。比如，书中有一道题让你证明Brunn-Minkowski不等式及其等号成立的充分必要条件，我是在一本讲几何不等式的书上找到的，证明过程长达四五页，初学者如果能做出来那必是天才中的天才了。其他答案也说：“花这么大精力去啃卓里奇，还不如把后续课程都系统地学了，回过头再看卓里奇，就觉得没什么”，我想就是这个意思。我不确定卓里奇本人当年讲课的时候有没有讲这几章，也有可能压根没讲，只是后来写教材的时候补充上去的。不过，初学者跳过这三章，也不妨碍其他内容的学习。

从叙述风格上看，第一卷还比较细密，但第二卷证明过程的跳跃性非常强，至少我读的时候经常碰到一句话要想半天的情况。我在想：大一学生读这样的教材，要耗费多少时间？况且大部分学生都有偷懒的天性，遇到了读不懂的会不会直接跳过去？如果随意糊弄过去，读卓里奇的效果恐怕是要大打折扣的，还不如一开始就拿一本浅显的课本学，不贪多，但至少学有所得。

结论：

不可否认，卓里奇这本数分本身具有诸多优点。首先，这本书的叙述是准确的，所用到的术语都要先给出严格的定义，所有定理的证明因而也是严格的，不会像有些数学书那样，遇到难解释的地方就想办法含混过去，让那种喜欢寻根究底的学生一头雾水。其次，书中有充实的物理例子。阿诺德对本书的点评提到了这一点。我个人的经验是学物理有助于加强对数学的理解（比如你学了电磁学有助于理解多元微积分，学了广义相对论有助于理解微分几何）。最后，书里面经常有一两句画龙点睛之笔，在其他书中不常看到，其实是作者有意提点，能让读者对学科的理解有所提升。

这本书之所以褒贬不一，我个人的看法是学过和人和没学过的人恰好会看到它的不同侧面。一方面，那些自身水平已经足够高的人能看到本书的好处，因为它融合了拓扑、几何、代数的思想，能和后续课程产生关联——当然这些人已经学过后续proof-based课程，并非数学分析的初学者，本书最多只是个案头参考。另一方面，让我们设身处地地为数学分析的初学者想一想：首先这本书肯定不适合那些连计算关都没过的人，这些人也不是作者的目标受众；至于那些想从这本书中学习新知识的人，本书对于观点拔高的部分却着墨不足，不够系统也不够深入——想学泛函、实分析、拓扑的都应该直接去找专门教材，而不是啃卓里奇。于是这本书的定位有些尴尬——它最适合的读者可能恰巧是我这种用它来复习数学分析的人，或者教数分的老师，因为他们阅读本书时也跟我一样，不是初学而是复习，且有能力和后续的知识联系起来，从而看到本书的好处。我能理解老师想把好书推荐给学生（或者用作教材）的心情，但是他们却忽视了“甲之蜜糖，乙之砒霜”。国内学生从小学到高中毕业基本上只学了个计算，其“数学成熟度”基本为零。要想让初学者切切实实学到东西，必然要遵从循序渐进的规律，不应该一上来就用这种overkill的教材，否则就是拔苗助长。（当然如果你是国集大佬，初学微积分就用卓里奇，我也没意见）

国内某些院校用卓里奇时显然是没考虑到新生的实际水平，特别是没考虑到我国高中数学的课程标准近二十年来一降再降，高中生看似刷了一大堆五花八门的题，其实基础不牢，很多基本的概念和定理他们没有真正掌握，但这并不是本书的问题。本书最适合已经（用别的教材）学过一遍数学分析的学生，至少也得对微积分有相当了解；而清华或国科大数学系的大一新生，大部分应该是达不到这个标准的。

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国内的学生学分析，为了使学习坡度平缓一些，我的建议是这样的：

1）先拿柯朗的《微积分和数学分析引论》初学微积分，把计算关过了，知道微积分是怎么用的。这本书内容丰富，我个人受益良多，但习题不简单，如果你觉得难，或者觉得这本书太老了，也可以用一本标准的Calculus教材（比如美国的托马斯微积分或者Stewart的微积分）。总之没必要在微积分上面花太长时间，大半年搞定一元+多元即可。

2）进入proof-based分析学。如果你还不知道什么是证明，什么是严格的推理，可以先把特仑苏陶写的那本Analysis读一遍。第一卷非常好，值得一看，最好把习题都做了。第二卷可以选读。如果觉得这本书挑战性不够，那就去试试Baby Rudin吧，那本书本来就是给已经学过Calculus的学生读的，最后一章可不读，除非你想拿Adult Rudin学实分析。

3）学一些点集拓扑的知识。其实Baby Rudin第二章就够了。

4）进阶学习。分析这个分支水很深，进一步要学习的内容包括但不限于实分析、复分析、调和分析、ODE、PDE等等。实分析推荐Royden的Real Analysis第三版前六章（最新版第四版感觉有点毁了），这本书习题不算难，所以读起来比较快。复分析推荐Ahlfors，作者是Fields奖得主，这本书长于几何观点，所以读起来会很有趣。