｛mr+n！ | m∈Z，n∈N｝是否在R上稠密？ 第1页
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zhang-han-yu-1 网友的相关建议:
这个问题等价于： 这个数列的小数部分是否在 稠密？其中 也是一个无理数。答案是：有可能稠密，有可能不稠密。
不稠密的例子：
取 ，则 ，显然第一项是整数，而第二项满足 ， 因此第二项就是 的小数部分。从而 的小数部分不是稠密的（唯一的聚点是 ）。
稠密的例子（构造性证明）：
设 是 中的全体有理数（可列），并假设 是既约分数。又设 是一列（待定的）严格递增的正整数，并定义
。固定一个正整数 ，注意到：
我们的想法是，让 是一个整数，让 是一个很小的数，以至于 。这样一来 的小数部分恰好是 ，当 变化时， 小数部分会跑遍每一个长度为 的有理区间，因此就稠密了！
为了让 是整数，只需要让 能够被每一个 （ ）整除。因此只要取 就行。
为了让 足够小，注意到
，因此只要取 即可。
因此我们可以“递归地”选取 ：只要取 ，且 ，这样构造出的 一定满足 的小数部分在 稠密！
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