｛mr+n！ | m∈Z，n∈N｝是否在R上稠密？ 第1页
1
zhang-han-yu-1 网友的相关建议:
这个问题等价于： 这个数列的小数部分是否在 稠密？其中 也是一个无理数。答案是：有可能稠密，有可能不稠密。
不稠密的例子：
取 ，则 ，显然第一项是整数，而第二项满足 ， 因此第二项就是 的小数部分。从而 的小数部分不是稠密的（唯一的聚点是 ）。
稠密的例子（构造性证明）：
设 是 中的全体有理数（可列），并假设 是既约分数。又设 是一列（待定的）严格递增的正整数，并定义
。固定一个正整数 ，注意到：
我们的想法是，让 是一个整数，让 是一个很小的数，以至于 。这样一来 的小数部分恰好是 ，当 变化时， 小数部分会跑遍每一个长度为 的有理区间，因此就稠密了！
为了让 是整数，只需要让 能够被每一个 （ ）整除。因此只要取 就行。
为了让 足够小，注意到
，因此只要取 即可。
因此我们可以“递归地”选取 ：只要取 ，且 ，这样构造出的 一定满足 的小数部分在 稠密！
求一个点赞...
1
相关话题
如何理解区间 [0, 1] 内有理数集合的长度为 0？你会对想学数学的孩子说些什么？
如何直观地理解「共轭」这个概念？
为什么宇宙当中的温度会有上下限？
江苏一博士“虎爸”拳脚相加逼六七岁儿女学高数。如何评价这位父亲的做法？
4位数字0到9顺序组合，如何在7次内猜出该数字？
想读数学系，南开大学、同济大学和南京大学哪所比较好？
如果某天偶数消失，世界会变成什么样？
如何计算 √5 的近似值？
为什么会有「男生比女生学数学更有优势」这一说法？
前一个讨论
这个四极矩辐射场功率的积分怎么算出来的?
下一个讨论
如何证明Painlevé连续开拓原理？
相关的话题
科学为何有那么多近似计算？这样是不是和科学的严谨性相违背？微积分之后，现代数学有哪些新的革命性工具？近年来物理理论没有突破，是不是微积分不够用了？
如何证明不等式(x+1)^(1/(x+1))+x^(-1/x)>2 ?
请问下面这道题怎么解决？
如何解决这个数学问题？
微分和导数的关系是什么？两者的几何意义有什么不同？为什么要定义微分 ?
数列「1，2，2，3，3，3，...」的通项公式是什么？
如何用初等方法证明k阶齐次线性常系数递推数列的通项公式？
有且仅有函数e^x的导数与本身相等吗？如何证明？
两个独立事件都发生的概率为什么等于两个事件发生概率的乘积？
算术平均和几何平均之间还存在别的东西吗？
是什么让你在数学的道路上坚持下来？
如何解释「线性回归」的含义？
怎样理解任何有限集都是紧集？
在数学大题解答中什么样的排版会让老师看的舒服和清楚？
LSTM如何来避免梯度弥散和梯度爆炸？
数学书上这种是什么字体，以及应该如何手写？
用 pdf 版看完大部头专著是怎样一种体验？
你见过最美的 MATLAB 绘图是什么？
最后放弃研究数学的人，是对数学失去兴趣了，还是找不到教职被迫放弃了？
如何对幼儿进行数学（不是算数）启蒙？
割圆术就算割了∞次，它和真实面积也相差很小一部分，怎么就说它就可以等于真实面积？
三分之一等于零点三三循环，而三分之一乘3等于一，用零点三三循环乘三却等于零点九九循环？
你见过哪些美妙的函数图像？
为什么在数轴上随便取一个点，一定取到的是无理数？
对于一个整环而言，①任意两个非零元的最大公因子存在，②它的不可约元一定是素元，是否等价？
用 pdf 版看完大部头专著是怎样一种体验？
计算数学在数学界是什么样的地位？
初三了，数学不及格，想问一下如何训练数学六大素养?
学习数学可以陶冶情操吗？