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如何证明同一个魔方公式循环N遍后都会回到原状态? 第1页

  

user avatar   Ivony 网友的相关建议: 
      

这个好像要用群论。

尝试一下。


首先列举一些不证自明的事实(事实上是我不知道怎么证):

1、我们知道魔方的每一个操作都有逆操作,譬如说你把X轴第一行旋转90度,那么逆操作就是把X轴第一行反向旋转90度,逆操作将完整的抵消操作的效果,回到操作之前的状态。同样的,一连串的操作,也有逆操作,只要按照顺序反向操作就能回到原来的状态。

2、我们知道魔方的状态是有限的。

3、如果给定一个状态s,那么执行某一连串特定的操作后,其状态是确定的。



接下来我就可以证明了。

然后我令有一种连串操作X,其无论重复多少次,都无法将魔方还原到初始状态。

我们把每一次X操作之后的魔方状态列成一个列表,其初始状态是,执行一次X操作后变为,执行n次操作后变为。

根据2我们知道中的状态可能是有限的,那么也就是说只要这个列表够大我们一定能找到两个状态是相同的,我们假设是第a次和第b次后(其中),那么这两个状态分别是和,即

然后令,根据3,在经历了特定次X操作后,得到的状态必然是是确定的。也就是说这个状态的魔方在经历m次操作后,必然会回复到这个初始状态。同样的我们有,。换言之,不断地重复操作X,魔方的状态必然是在一个m个有限的状态集合中循环。

推论:然后根据1,所有的操作X都有一个逆操作-X,因为重复m次X操作后的状态是,而这个状态和相同,同样的,重复m次-X操作后,应该会得到的状态,也就是说如果我们对于处于状态的魔方执行-X操作,他也会在m个有限的状态中循环。

根据初始假设,X操作无论重复多少次,都不能恢复到的初始状态。现在我们假设已经进行了b次X操作,我们得到了状态,其与之前的某个状态是相同的,根据1,我们只需要执行b次-X操作,就能回复到状态,但是根据上面的推论,我们只会在m个有限的状态中循环,所以,必然在这个有限的状态集合里,与初始假设矛盾。


所以假设不成立,不存在一连串操作X,无论重复多少次都无法将魔方还原到初始状态。


所以证明这个东西的三个前提是:

1、所有操作都是可逆的。

2、总的状态是有限的。

3、操作后的状态是确定的。


只要满足这三个前提的东西,都会满足这个规律,不仅仅是魔方。

譬如说:

在国际象棋盘上,有一个后,为了确保后的所有移动都是合法而且状态确定的,我们规定后从需要向左边移动三格而左边只有两格的时候,后会出现在最右边的对应格子上。

那么,不论设计一种什么走法,例如后先向前两步,再向左上两步,再向下三步这样的之类。重复有限次后,这个后必然会回到最开始的位置上。

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最后再补充一下这三个前提的必须性:

前提2和前提3可以证明重复某个操作一定会在有限个状态内循环。

而前提1和前提3则可以避免出现诸如这样的循环。这样的循环永远也回不到初始状态a。

所以这三个前提条件缺一不可。




  

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