谢邀。
研究处处,其实就是研究在每一个点上的情况。
证:设 f 在 x₀ 处不连续,g 在 x₀ 处连续,且
由 f 的非连续性可知,存在两个以 x₀ 为极限的序列,包含在 x₀ 的一个充分小邻域内,设
(允许 ε₀ = + ∞)
现在研究 f(x)g(x) 在 x₀ 处的连续性:利用三角不等式放缩易得,f(x)g(x) 在 x₀ 处存在两个极限不一样的序列,
当f(α_n)有界时
当f(α_n)无界时,上式也是严格大于0
故 f(x)g(x) 在 x₀ 处不连续。
Q.E.D