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处处不连续的函数乘以一个非 0 连续函数连续么? 第1页

  

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谢邀。


研究处处,其实就是研究在每一个点上的情况。

证:设 f 在 x₀ 处不连续,g 在 x₀ 处连续,且

由 f 的非连续性可知,存在两个以 x₀ 为极限的序列,包含在 x₀ 的一个充分小邻域内,设

(允许 ε₀ = + ∞)

现在研究 f(x)g(x) 在 x₀ 处的连续性:利用三角不等式放缩易得,f(x)g(x) 在 x₀ 处存在两个极限不一样的序列,

当f(α_n)有界时

当f(α_n)无界时,上式也是严格大于0

故 f(x)g(x) 在 x₀ 处不连续。

Q.E.D




  

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