两端固定的纸张拱起所成曲线的方程是什么？ 第1页

谢邀。在小变形、忽略重力的情况下，纸形成的曲线是一条正（余）弦曲线。

首先需要说明的是，纸的刚性在这个问题中起到了关键性的作用，也就是说我们不能像悬链线问题中那样，把纸视为完全柔性的物体。这是因为，如图片中所示，纸是向上突起的，如果把纸视为完全柔性，那么它在两边的挤压之下应该只会变皱（像一块布一样），而不会形成一个脱离地面的曲线。所以在这个问题中，我们需要考虑纸的刚性，正是纸的刚性使得纸能够保持基本平整。而反映纸的刚性的物理量，就是弹性模量 。

除了弹性模量 以外，我们再把其他物理量记作：纸的长度为 （这里的长度指的是左右两个固定点之间的距离），纸的惯性矩为 （这里 是纸的宽度， 是纸的厚度），纸在两个固定点处受到的摩擦力为 ，受到的力矩为 （力矩的方向沿着纸的宽度方向），纸的两端位置分别是 和 ，纸在位置 处翘起的高度为 （也就是挠度，下文的 、 等都是指 对 的各阶导数）。

通过静力学分析我们可以得知，纸在位置 处的截面上所受的力矩 。之后根据小变形下的挠度公式 可以得到一个关于 和 的二阶线性常微分方程 。在题主的图中，纸的左右两边分别被重物压住，所以边界条件是固支边界条件： 。结合以上信息，我们可以解出挠度

以及摩擦力 需要满足的条件 。从中可以看出纸张的曲线方程是一个三角函数，纸张在 到 之间正好经历了一个完整的周期。（求解这个微分方程的过程不是很简明，为了不影响阅读就放在最后了）

另外也可以得到一些比较定性的结论，比如越硬的纸翘起的高度越小（ 越大， 越小），越长的纸翘起的高度越高（ 越大， 越大）之类的。尽管当翘起的高度达到一定值之后，纸张的变形就不能再适用小变形下的挠度方程了，但我们得到的解析式仍然能在一定程度上解释纸张的翘曲情况。

我们可以稍稍放松一点条件，考虑小变形，有重力的情况。这个时候我们可以采用叠加原理得到纸张的曲线方程。我们可以把纸张的受力分为只受摩擦力 和只受均布重力 ：

• 对于只受摩擦力的情况，我们已经从上面的讨论中知道纸张的方程是一个正（余）弦曲线；
• 对于只受均布重力的情况，我们可以类似的通过静力学分析以及方程 推知，纸张的方程是一个四次函数 （其中 是纸张单位长度的质量）

所以，在考虑重力的情况下，纸的方程是一个正（余）弦曲线和一个四次函数的叠加。

以上的讨论还在小变形的框架下。随着纸的弯曲程度增大，上面所用的线性挠度方程的误差也会增大，直至方程失效。此时需要使用大变形条件下的挠度方程 ，得到的曲线称为“欧拉弹性线”。不过欧拉弹性线的表达式比较复杂，而且也很难写成显式的 的形式。

这个问题的力学背景是压杆的稳定性条件。对于一个柱体，当我们以比较小的力按压柱体的两个底面时，柱体会产生压缩；而当我们以足够大的力按压时，原本挺直的柱体会发生侧弯，变成一个弓形。（这种现象对于比较软的物体更为明显，可以试试在桌面上按压一块竖着放置的薄橡皮，橡皮弯折的时候就是不稳定性出现的时候）能够使柱体出现弯折的压力称为“临界力”。

从上面的讨论中我们可以得到，两端固支的柱体对应的临界力为 。而在其他边界条件下，对应的临界力也可以类似地进行计算。例如两端简支的柱体对应的临界力为 ，也被称为“欧拉临界力”。

最后解一下上面的挠度方程

如果不看边界条件，那么这个方程有通解

代入 ，可以得到

代入 ，可以得到

因为图片中纸只隆起一个峰，所以 （否则，会出现多个峰，并且会出现至少一个谷）

由上式，我们得到了该问题中的临界力 。再代回(2)式，就能得到纸张的曲线方程

（更详细的背景和解释可以参考任意一本材料力学教材里关于“压杆稳定性”的章节）

这种纸的大变形可用欧拉-伯努利梁理论来建模， 但这个问题明显属于超静定问题，也就是约束过多，所以不能简单地套用公式。为了清楚起见，这里我从能量角度出发，结合数学方法，来讨论一下这个问题。首先纸发生的是弯曲大变形，因此储存的能量主要是弯曲能，这样我们就可以忽略重力的影响了。如图所示，

弯曲能的表达式可写为（ 为抗弯刚度），

边界约束为 。

考虑拉格朗日乘子 ，对能量方程进行变分，

结合边界条件 ，可得到，

约束条件为 。

为了在数学上处理更方便，取特征长度 ，特征力 ，将方程(1)无量纲化，可得到

以及边界条件 ,约束条件 ,其中 .

下面采用摄动展开法进行求解，根据对称性，可将方程(2)的解写为 的级数形式，

将上述两式代入方程(2)，考虑边界条件和约束条件，可逐次求得方程的解

完整写出来就是

不过一般我们用的是 坐标,因此方程的解可写为,

这结果到底对不对呢，我也随手做了一个实验，如图2所示,

根据实验结果,可知参数为 以及 ，其实这俩就够了。根据这两个参数，计算得到纸的形状为，乍一看还挺像的，

最后我们把它跟实验结果进行对比,

可以看出，即便是这样随便做的一个实验，结果都是吻合良好的，并且这个实验非常简单，只需要测出两个长度就可以了，感兴趣的同学不妨动手试试。所以令人震撼的永远不是数学推导，而是数学推导结果就这么轻易地跟实验结果对上了。

【2019.10.5更新】

感谢 @一只橙小果 为我送上的自动拱纸机，非常实用。。。

【参考文献】

【1】林家翘. 自然科学中确定性问题的应用数学[M]. 科学出版社, 1986.

【2】Audoly B, Pomeau Y. Elasticity and geometry: from hair curls to the nonlinear response of shells. 2010[J].