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X²+Y²+Z²=114514存在多少组整数解? 第1页

  

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设 为正整数,我们记方程

的整数解的个数为 , 这里我们考虑符号和排列. 例如方程

的整数解的个数为 :

利用 模形式 的理论可以得到 的表达式!

定理 1:设 为正整数,则有唯一的分解 , 其中 , , 为整数,且满足 , 为奇数 , 为 基本判别式.

定理 2:我们设 为基本判别式, 则 为模 的 Dirichlet 特征. 其中 为 Kronecker 符号.

定理 3:设 为正整数,则

其中 为 Dirichlet L-函数, 为 Mobius 函数 , 为 的正因子之和.

定理 4:设 为模 的 Dirichlet 特征,则

现在我们来求 . 由于

则由 定理 1

由此我们可以得到

故有 . 由 定理 2 知 为模 的 Dirichlet 特征,再由 定理 4 并且借助 SageMath 计算可知

从而我们有

即方程

有 组整数解,这相当于说球面

上有 个 整点.




  

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