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给定正整数 n,将 1 拆分为 n 个互不相同的单位分数之和,不计次序,有几种拆法? 第1页

  

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设 严格递增,由题意需解正整数方程:

其中

我们将满足题意的解的个数记为

由 不等式:

等价于

解得 当 时.


而对于更一般的正有理数 拆分为单位分数(解的个数为 ),有

同理满足不等式

解得

另外还有一个虽然平凡但是很重要的限制:

其中 . 特别地,当 时,

命题 1. 是唯一分解,即

证明:当 时,由 可得 ,于是

再次利用 ,此时 ,于是可知

于是

是唯一分解.

我们证明一个一般性的结论,即——

命题 2.

证明:设

.

于是由 可得

所以满足条件的 取值可能有限,且

该定理给出了一个粗糙的方法. 借用如下方法可以更快地寻找分解.

法二):

由韦达定理,可知 与 是如下二次方程的正整数根:

于是判别式必须时一个完全平方数,即

将之视为一个关于 的二次方程,则由于 ,于是该新的二次方程的判别式依然是一个完全平方数,即

这是一个平方和的形式,则由勾股方程的整数通解公式:

  • 对于第一种情况,

而且由于 和 同奇同偶,于是两者只能都是偶数.

  • 对于第二种情况有 ,于是 以及 的取值有限,且两者同奇偶.

综上, 取值种类有限,故而 亦有限. 代回原方程 :

然后收集 的所有可能,从而解出满足题意的 .


然而 并不是有界的,例如对于有理数

显然

命题3.

证明:归纳法. 当 时,即为命题 2.

归纳假设:若当 时, . 则

这是因为由归纳假设可知每一项求和有限,且 的选择范围有限,于是整个求和有限.




  

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