设 严格递增,由题意需解正整数方程:
其中
我们将满足题意的解的个数记为
由 不等式:
等价于
解得 当 时.
而对于更一般的正有理数 拆分为单位分数(解的个数为 ),有
同理满足不等式
解得
另外还有一个虽然平凡但是很重要的限制:
其中 . 特别地,当 时,
命题 1. 是唯一分解,即
证明:当 时,由 可得 ,于是
再次利用 ,此时 ,于是可知
于是
是唯一分解.
我们证明一个一般性的结论,即——
命题 2.
证明:设
.
于是由 可得
所以满足条件的 取值可能有限,且
该定理给出了一个粗糙的方法. 借用如下方法可以更快地寻找分解.
(法二):
由韦达定理,可知 与 是如下二次方程的正整数根:
于是判别式必须时一个完全平方数,即
将之视为一个关于 的二次方程,则由于 ,于是该新的二次方程的判别式依然是一个完全平方数,即
这是一个平方和的形式,则由勾股方程的整数通解公式:
而且由于 和 同奇同偶,于是两者只能都是偶数.
综上, 取值种类有限,故而 亦有限. 代回原方程 :
然后收集 的所有可能,从而解出满足题意的 .
然而 并不是有界的,例如对于有理数
显然
命题3.
证明:归纳法. 当 时,即为命题 2.
归纳假设:若当 时, . 则
这是因为由归纳假设可知每一项求和有限,且 的选择范围有限,于是整个求和有限.