用坐标变换定义的张量和微分几何中的张量或张量场是什么关系？ 第1页

第二次学GR，来回顾一下自己提的问题。

从整体微分几何的角度，张量场就是张量丛（作为切丛和余切丛的张量积）的截面。有时候我们会问，一个具体的的映射是否是（诱导自）一个张量场？比如为什么仿射联络 不是一个(1,2)型张量场，但是它的挠率张量 是一个(1,2)型张量场？

一个物理人会说仿射联络无非就是 个函数 ，它们按坐标变换的规则会出二阶导数，因而不符合张量的定义（按坐标变换定义的“张量”），同理挠率 符合(1,2)型张量的坐标变换，所以是张量。

事实上很难不引入局部坐标来讨论张量场（因为任何矢量丛都是纤维粘起来的，每个纤维上引入坐标卡，并检查相容性条件，就等价于检查矢量场符合对应的坐标变换规则），但是我们可以把这些封装到如下好用的定理：

映射 诱导了一个 型张量场当且仅当 是 多重线性的。

这种局部坐标变换的规则反映到整体上就是张量场作为 代数同态的性质，正如 @Triviality 的答案所言。比如仿射联络在定义上要求 ，多出来的 表明它对第二个位置不具有 线性（但仍然是 线性的，这表明张量场必须要在一个开集上考虑，在单点上的张量积空间上讨论多重线性是无意义的），因此不是一个张量场。