设多边形 内部一个点 ,外部一点 ,做变换
这样一来,多边形变成了一个以原点为圆心的单位圆。
变换 满足:
关于这个证明我以前刚好回答过: https://www.zhihu.com/question/370749736/answer/1007725617
所以问题最后就转换为,圆心和圆外一点 的连线,必然和圆 有交点 ,那么一定会有原像集 ,即为所求。
可以直接联立方程
另外注意隐藏的条件:
其中 是平面向量。最后很容易解得:
于是 ,证毕。
当然了,这个问题还是不得不提及Jordan闭曲线定理,没有它,曲线的「内」与「外」无从谈起。(在评论区有网友提醒我,我也觉得还是要捎带说一下答案更完整。)另外, 可以是更一般的区域,而不仅仅是多边形,但是我尊重题主的问题,所以就继承其说法。
至于Jordan闭曲线定理的证明,一般来说各种教材就直接略过了,因为真的很繁琐。我以前在邓冠铁老师的《复变函数论》看过当 是多边形时的证明,恰好可以用在这里。用代数拓扑的方法证明很简单,但是需要铺垫的知识很多,就看姜伯驹老师的书就行了。