三分之一等于零点三三循环，而三分之一乘3等于一，用零点三三循环乘三却等于零点九九循环？ 第1页
1
liu-yang-zhou-23 网友的相关建议:
中学的时候，大家都接受不了上图最后那行事实，因为这个问题太深刻，涉及到实数的本质，也就是所谓实数的完备性。用比较高深的观点看实数，比如说实数1是什么：就是以1为极限的所有数列构成的集合。
实数完备性不提也罢，我们还是用比较直观的方法去论证吧（本质上还是极限）。我们先承认一事实：
不等的数之间总有其它数。比如0.5介于0与1之间，所以0与1不等。
如果我们把这个命题写成它的逆否命题，
公理：两数之间再没有其它数，则两数相等。
这个事实很显然吧（虽然显然不一定容易证明），接下来我们用这个公理去证明所求。
反证法：若0.9…和1之中有其它数，我们记为α，那么有：
0.9<0.99<…<α<1
既然1大于α，那么我们将两者的差记为：
δ:=1-α>0
由假设，我们知道1与0.9…的差永远都无法小于δ，
然而事实上：
我们发现，只要上面最后一个不等式成立，1和0.9…的差是可以小于δ的，这和我们假设的矛盾，即1与0.9…之间没有其它数了，所以由公理可知，1和0.9…是相等的。
1
相关话题
如何证明不定方程是否有解?二次函数无实根的概率是多少？
这几个不等式如何证明?
如果让你来编排义务教育阶段至高中的数学课本，你会怎么编排？
数学专业本科生，未来选择哪条路赚钱最多？
数学中有什么难以置信的结论？
二维傅里叶变换是怎么进行的？
数学上有哪些丑陋的公式？
数学到底有什么魅力，能让那么多数学家用一生去追求？
Diffie-Hellman密码交换是如何运作的？
下一个讨论
为什么矩阵内积的定义包含一个迹运算？
相关的话题
学数学专业是一种什么体验？数学中有哪些表面没有关系但是内在有深刻联系的问题？
如何更深入理解物理意义或概念？
为什么说尾数为1、3、7、9的素数个数是基本相同的？
有哪些形式简单却很难证明的不等式？
与1相邻的实数存在吗？
一道难题求助大佬?
这个相关系数背景的证明题如何做？
数学 物理 化学三者在本质上的区别是什么?
在微积分教材一开始直接引入 epsilon-delta 语言是否有利？
如何证明三面角的两个面角之和大于第三个面角？
1 克精面粉所有粉尘颗粒的表面积之和与地球的表面积哪个大？
初态为熄灭的灯每隔 1/2ⁿ 小时开/关一次，一小时后是亮是灭？
如何严格证明下面这个不等式？
怎样用一个普通人能看懂的方法证明 π 是无理数？
这个赌局的漏洞在哪里？
埃式筛为什么只要筛到根号n就好了？
正三棱锥内切球的四个切点（两类）分别在三角形的什么位置？
怎么评价北大版的《高等代数》？
为什么数学上一些显而易见的事情数学家们也要编个定理出来？
高中数学有哪些像洛必达法则一样神一样有用的公式？
数学的所有内容都是基于一些无法证明的公理和无法定义的概念（比如集合、直线），那么数学有没有可能是假的？
如何从傅里叶逆变换推出下面这个公式？
从零开始学数学，有谁知道从何处入手，谢谢？
存不存在连续的三个奇数都是素数（3，5，7 除外）？如果不存在又是为什么？
我这个数有葛立恒数的大吗？
为什么样本方差（sample variance）的分母是 n-1？
如何评价「神经网络本质不过是初中生都会的复合函数」？
Jean-Pierre Demailly教授于2022年3月17日去世，如何评价他对数学的贡献？
如何证明 2 的平方根不是有理数？