三分之一等于零点三三循环，而三分之一乘3等于一，用零点三三循环乘三却等于零点九九循环？ 第1页
1
liu-yang-zhou-23 网友的相关建议:
中学的时候，大家都接受不了上图最后那行事实，因为这个问题太深刻，涉及到实数的本质，也就是所谓实数的完备性。用比较高深的观点看实数，比如说实数1是什么：就是以1为极限的所有数列构成的集合。
实数完备性不提也罢，我们还是用比较直观的方法去论证吧（本质上还是极限）。我们先承认一事实：
不等的数之间总有其它数。比如0.5介于0与1之间，所以0与1不等。
如果我们把这个命题写成它的逆否命题，
公理：两数之间再没有其它数，则两数相等。
这个事实很显然吧（虽然显然不一定容易证明），接下来我们用这个公理去证明所求。
反证法：若0.9…和1之中有其它数，我们记为α，那么有：
0.9<0.99<…<α<1
既然1大于α，那么我们将两者的差记为：
δ:=1-α>0
由假设，我们知道1与0.9…的差永远都无法小于δ，
然而事实上：
我们发现，只要上面最后一个不等式成立，1和0.9…的差是可以小于δ的，这和我们假设的矛盾，即1与0.9…之间没有其它数了，所以由公理可知，1和0.9…是相等的。
1
相关话题
如何判断一个人适不适合学数学？如何看待 15 岁女生谈方琳参加世界顶尖科学家大会？她的研究成果含金量有多高？
如何看待有的物理学家说物理学就是几何学，以及物理学需要新的几何学注入活力？
请问如何求下面这个连分数收敛到的值？
相对论刚提出时，号称全球能完全理解的人不超过十人，现在却成为理工科必修课程，是我们智商提高了吗？
圆周率 π 的这个连根式展开公式怎么证明？
泰勒展开在物理中有什么简单应用呢？
n阶矩阵A=（cos(αi−βj)）n，如何证det（A）=0？n,如何证明det(A)=0?
一个数学问题，(x1+x2+……+x8+1)的8次方，合并同类项后有多少项，类似问题怎么解决？
会不会在数学发展足够先进的时候，人们学100年也几乎达不到当时最前沿数学领域，使得数学无法继续发展?
下一个讨论
为什么矩阵内积的定义包含一个迹运算？
相关的话题
任意 ε＞0，a≤b＋ε 是否可推出 a≤b？求解决这道题目？
作为统计的博士生，你都读过哪些对你影响深远的统计书籍？
财险精算师如何为男士开发出一款“早泄险”？
数学家如何定义无穷大？有人能在数学上证明无限存在吗？
黎曼猜想（Riemann hypothesis）是什么？有什么用？
急/高中数学怎么学？有什么学习数学的方法吗？本人复读生？
为什么我们可以用平面取一点来证明概率为零事件能发生？
初三学生，立志将来进行数学研究，未来五年需要看哪些书才能打牢基础？
请问为什么要学初中、高中、大学的数学？有用吗？
如何（优雅地）证明｛sinN｝的上下确界分别是1和-1？
高中数学解析几何圆锥曲线大题真的是硬解就能解出吗？
那些打破圆周率小数位计算的记录是怎么判断计算得正不正确的？
为什么井盖不做成莱洛三角形？
如何证明如下积分等式？
张益唐和佩雷尔曼的论文是否说明脱离主流学术圈一样有可能成为顶级数学家？
已知正数a、b、c满足a+b+c=1，如何证明a²+b²+c²+2abc的范围是[11/27,1)？
从一读到一亿需要读多少个汉字？
勾股数有有限多组还是无限多组？
π 的数字排列中能否找到 e 的数字排列？
做数学做得狂躁了，我该怎么平静下来?
家有毕业班的中学生，想知道“平行线分线段成比例定理”如何证明？思路是什么？
数学专业出身的口算能力会比其他人强很多吗？
如果引进新的运算，一元五次方程会不会有通用的求根公式？
为什么 Mathematica 不能显示积分过程，即使它能算出最终结果？
如何看待郑爽小号疑似曝光：按前男友顺序编号注册微博小号，每个小号数字还是以 4 递增的等差数列？
两相邻素数的最大间距能够多大？
拓扑学能解决哪些分析学无法解决的问题？
有什么途径可以补齐自己数学知识的短板?
这个题如何用Stolz定理？