首先定义函数
类比黎曼的方法,将其与Γ函数相乘,即
我们可以对右侧积分稍作变换,并取 ,易得
现在考虑将右侧积分转化为以下形式
等号右侧让人联想到对生成函数的操作,即若
那么 ,其中 为指数型生成函数
当务之急是求出这个积分,考虑复变函数
以联接原点到无穷远点的射线作割线,划分出单值解析区域,我们取割线上岸辐角为 ,则下岸辐角为 ,根据柯西积分定理和留数定理,易得
设 ,那么我们就求解出了该积分的值
幸运的是我们知道正割函数的幂级数展开
其中 为欧拉数,于是便可得到
最终便有
代入 即得答案
其中 为欧拉数
由于 ,故
已知Γ函数的积分表达式
于是
于是有
作变换 ,则
对右侧积分作变换 ,则
设 ,则
也就是
其中
考虑复变积分
其中积分路径 取以下围道
根据留数定理
其中 为被积函数的一阶极点,则
所以
根据柯西积分定理
根据大圆弧定理
根据小圆弧定理
我们规定割线上岸 ,下岸 ,则
取极限 即得
设 ,则
由于
那么
于是
也就是