百科问答小站 logo
百科问答小站 font logo



请问这道无穷级数题有什么巧妙的解法? 第1页

  

user avatar   Jaysny 网友的相关建议: 
      


计算


首先定义函数

类比黎曼的方法,将其与Γ函数相乘,即

我们可以对右侧积分稍作变换,并取 ,易得

现在考虑将右侧积分转化为以下形式

等号右侧让人联想到对生成函数的操作,即若

那么 ,其中 为指数型生成函数

当务之急求出这个积分,考虑复变函数

以联接原点无穷远点射线割线,划分出单值解析区域,我们取割线上岸辐角为 ,则下岸辐角为 ,根据柯西积分定理留数定理,易得

设 ,那么我们就求解出了该积分的值

幸运的是我们知道正割函数幂级数展开

其中 为欧拉数,于是便可得到

最终便有

代入 即得答案


欧拉数的母函数

其中 为欧拉数

由于 ,故


狄利克雷β函数

已知Γ函数的积分表达式

于是

于是有


的积分表达式


作变换 ,则

右侧积分作变换 ,则

设 ,则

也就是

其中


的计算


考虑复变积分

其中积分路径 取以下围道

根据留数定理

其中 为被积函数的一阶极点,则

所以

根据柯西积分定理

根据大圆弧定理

根据小圆弧定理

我们规定割线上岸下岸 ,则

取极限 即得


的值


设 ,则

由于

那么

于是

也就是





  

相关话题

  如何学习点集拓扑学? 
  可以找到两个质数,他们的比值最接近 π 吗? 
  这个几何问题有什么方法吗? 
  学了数学变秃了却没有变强,这正常吗? 
  为什么说连续映射是一个拓扑概念?? 
  为什么这两个函数如此接近,有大佬解释下么? 
  数学史上有哪些问题是通过构造出一套新的理论才得以解决的?必须要构造新的理论才能解决这些问题吗? 
  Network Topology网络拓扑有没有好的专业教材? 
  有没有可能使数个单位体积的立方体在空间中实现准确定位从而模拟出各类有形物体? 
  这道求极限的题怎么做? 

前一个讨论
控制中拉普拉斯变换是如何推出来的?
下一个讨论
抛掷a0枚硬币,表面朝上的枚数为a1,然后再投掷a1枚硬币类推,这样最后an的概率分布可求吗?





© 2025-04-02 - tinynew.org. All Rights Reserved.
© 2025-04-02 - tinynew.org. 保留所有权利