百科问答小站 logo
百科问答小站 font logo



请问这道无穷级数题有什么巧妙的解法? 第1页

  

user avatar   Jaysny 网友的相关建议: 
      


计算


首先定义函数

类比黎曼的方法,将其与Γ函数相乘,即

我们可以对右侧积分稍作变换,并取 ,易得

现在考虑将右侧积分转化为以下形式

等号右侧让人联想到对生成函数的操作,即若

那么 ,其中 为指数型生成函数

当务之急求出这个积分,考虑复变函数

以联接原点无穷远点射线割线,划分出单值解析区域,我们取割线上岸辐角为 ,则下岸辐角为 ,根据柯西积分定理留数定理,易得

设 ,那么我们就求解出了该积分的值

幸运的是我们知道正割函数幂级数展开

其中 为欧拉数,于是便可得到

最终便有

代入 即得答案


欧拉数的母函数

其中 为欧拉数

由于 ,故


狄利克雷β函数

已知Γ函数的积分表达式

于是

于是有


的积分表达式


作变换 ,则

右侧积分作变换 ,则

设 ,则

也就是

其中


的计算


考虑复变积分

其中积分路径 取以下围道

根据留数定理

其中 为被积函数的一阶极点,则

所以

根据柯西积分定理

根据大圆弧定理

根据小圆弧定理

我们规定割线上岸下岸 ,则

取极限 即得


的值


设 ,则

由于

那么

于是

也就是





  

相关话题

  抛掷a0枚硬币,表面朝上的枚数为a1,然后再投掷a1枚硬币类推,这样最后an的概率分布可求吗? 
  数学中那些高明的变换技巧是否有规律可循? 
  有哪些用普通人的知识水平就可以巧妙证明的数学难题? 
  114514↑↑114514 的后三位数是什么? 
  如果有一天上帝给了数学家素数的通项公式,这会对数学界有什么影响? 
  如何提升线性代数的计算(行列变换)能力? 
  数学物理方程怎么那么难? 
  怎样理解“范畴”? 
  勾股数有有限多组还是无限多组? 
  假如一个人立志要在有生之年攻克哥德巴赫猜想,那他应该付出哪些努力? 

前一个讨论
控制中拉普拉斯变换是如何推出来的?
下一个讨论
抛掷a0枚硬币,表面朝上的枚数为a1,然后再投掷a1枚硬币类推,这样最后an的概率分布可求吗?





© 2025-04-24 - tinynew.org. All Rights Reserved.
© 2025-04-24 - tinynew.org. 保留所有权利