最近读done right 有感(其实已经读了好几年了):
①齐次方程组 的解集构成一个线性空间(所以你可以写成基础解系),实际上它就是线性变换 的核。之所以有基础解系的秩是n-k的结论,其实完全就是线性变换的rank-nullity theorem:
②非齐次方程组 的解集其实不是线性空间,它是某个解向量 与某个线性空间 的和 (被称为仿射子集或者陪集),当然我们知道这个 其实就是对应齐次方程组 的解空间。 的形式通常被解读为:某个特解加对应齐次的通解。
仿射子集有一些结论,比如下面都是等价的: ,这其实就对应了一些结论,比如如果 都是 的解向量(即 ),那么 就是对应齐次 的解向量(即 ),这个在一般的教科书上就称作什么“线性方程组解的结构”了。
③有个重要结论: 有解当且仅当 ,在线性空间的角度来看也是显然的。设 是 的矩阵表示,则 的列空间 其实就是 ,我们有 有解等价于 等价于 等价于 等价于
④最后跑一下题,由于 的解集形如 ,所以可以对这些解集定义加法与数乘。比如 , ,然后所有这些解集连同加法与数乘就构成了一个新的线性空间,称为商空间 。甚至还可以证明 ,与抽象代数水乳交融。