我们知道,如果 ,其中 是有理数,那么 。
而 ,所以能表示成 的有理数只有 。
对于第二个问题,可以求出 的极小多项式。只需要算 的极小多项式 即可,其中 。 与 无关,因为对每个 都存在 使得 ,其中 ; 把方程 映射到 。由此可看出 的所有根就是 。它的次数是 。
为了把 算出来,考虑 Chebyshev 多项式 ,它满足 。下面分 是奇数和偶数讨论。如果 是奇数,那么
。所以 有 个不同的根 。因此 。用类似的方法可以得到,如果 是奇数,那么 。用 Möbius 反演即可算出每个 。