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一道复变函数证明题怎么做? 第1页

  

user avatar   zillif 网友的相关建议: 
      

以下参考了 Math Stack Exchange 上的这个回答:

首先由最大模原理, 必然在边界 上。由 知 . 不失一般性,设 .

(对一般的 ,用 进行相似和旋转变换即可,这对问题没有影响。)

用反证法,假设 . 由幂级数展开,对 使 且 充分小的 ,有

(必然 使 ,否则将 ,使 和 同时成立,与最大模原理矛盾。)

令 沿直线趋近 , 的可能取值覆盖了长度为 的圆弧。又因为 ,所以 的可能取值覆盖了长度超过 的圆弧。于是一定能找到某条直线,当 沿这条直线趋近 时,

即 . 进一步因为余项衰减地更快,当 离 足够近时,可以确保 .

(严格证明如下:设 为定值。由 ,则

于是 . )

于是 ,矛盾!所以假设 不成立,证毕。




  

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