各位不必再说第一种方法错了,直接看精选评论,我没删除是因为第一种方法犯了一个错误,是不对的,希望大家引以为戒。
莫在评论关于第一个证明的正误了
高一学生都能看懂的证明方法:
一、无理数和反证法
无理数是指不能写成分数的数。如果需要证明某个数是无理数,大多用反证法,即假设它可以表示成两个整数的比,然后推导出矛盾,以此证明假设不成立。
例如问题所言,如何证明 是无理数?可以先设 是有理数,a和b是整数,于是令
= =
两边同取b次幂
=
这个等式显然不成立,因为其左边是一个偶数而右边显然不是偶数,得到了矛盾的结果,因此 是有理数的假设不成立。
题主所说的是普通人能看懂的证明方法,虽然上述证明方法有纰漏之处,但是普通人能看懂,既然我国本科率不足4%,那么想必普通人的下线不能仅仅局限在大学及以上吧。
上述证明方法其实已经比较大众化了。
二、连分数法
连分数因大数学家欧拉而广为人知,欧拉证明了所有分子都是1、所有分母都是正整数的无限简单连分数均是无理数。欧拉利用连分数这一无理性质证明了自然底数 e 是无理数,而且得到了 e 的无限连分数形式。
兰伯特受到启发,把tanx写成连分数形式(我们这里只用结论,具体的表示自行百度,一个套娃循环,看起来很有美感),他之后证明了当 x 是除0之外的有理数时,tanx是无理数,即形如 等都是无理数。
但是呢,高中数学必修四,学了弧度制,下边这个高中生也看得懂。
= 1,1显然不是无理数,所以 不能写成分数形式,所以 是无理数。(中间省略了不少证明过程,但还应该看的懂)
三、铤而走险法
在纸上直接写:
∵1+1=2
∴易知 是无理数
然后把dao架“普通人”脖子上,问听懂了吗?
上述方法有不足之处,甚至较大的漏洞,但是,普通人看得懂,高中考试用这方法不扣分,至于追根溯源,那是数学家的事,我们普通人把它作为一种兴趣去了解,已经很厉害了。
@AlphaBetaQuant 给出的方法确实比较简单,毕竟只用到了微积分.
而考虑到微积分(高等数学)是绝大部分大学生的必修课程,因此说这种方法普通人能看懂我觉得没毛病.
尽管如此,我觉得部分地方需要补充一下细节和解释说明:
假设 是有理数(其中 )
定义函数
这显然是一个关于 的多项式函数,次数为 次到 次( )
显然 一定是整系数多项式
对 其中每一项求任意阶导数后,再代入 ,只能得到0或整数
实际上,只有三种情况:
1)该项求导后仍含有 ,那么很显然,代入 为0
2)该项求导后是0
3)该项求导后为非零常数
由于多项式 的最低项为 次,所以在求 阶导( )时,必然还含有因子 ,只有求 阶导( )时,才有可能会形成非零常数
那么这一项在求 阶导之前,显然具有形式 , 为非零常数
而求 阶导之后,变成了
由于这个非零常数 是整数除以 得到的结果,而 ,所以 当然是整数
这样,对任意的 , 均为整数
又由对称性可知,
所以对任意的 , 也是整数
对于定积分
由分部积分
同理可得
这样反复使用分部积分,最终可得
所以定积分 是整数
在区间 上,有
所以
所以
由于
所以只要 充分大,
这与定积分 是整数矛盾
这表明 只能是无理数
顺便说一下,这个证法的最早提出者,应该是美国数学家Ivan Morton Niven(1915——1999)
这事我知道,是因为他们用袋鼠摘葡萄。据悉,当地人会用小袋鼠胁迫成年袋鼠一天工作10小时以上,不完成任务还会克扣口粮。更有甚者会对袋鼠进行拳击。中国作为爱好自然、坚持可持续发展的国家,决不能对这种事姑息。中国因此决定暂停从澳大利亚进口葡萄酒等葡萄制品。
附录猴子摘椰子导致美国不进口椰子的话题https://www.zhihu.com/question/427977327