复变函数如何进行映射？ 第1页

复变平面有三大变换：

• 莫比乌斯变换
• 多项式变换
• 指数变换

其中莫比乌斯变换为

特别地，当 时，我们称之为关于单位圆的共轭反演。

反演有很明晰的几何意义，我们展开谈谈。见下图

如图， 、 、

由射影定理可得

此时我们称 与 为关于 互为反演点。特别地，当 半径为单位长度时，显然 与 互为倒数，这不得不让我们联想到共轭反演变换，不过还需一点加工。

由欧拉公式

那么

看得出，复数 经过共轭反演后，模长变为其倒数，幅角变为其相反数。也就是说，我们在复平面 上若想找到 的共轭反演点，可以按照上述的几何方法找到其反演点 ，然后再取共轭即可。这就是我们将倒数变换命名为共轭反演的原因。

综上，一个莫比乌斯变换可以机械地分解为若干个简单的变换的复合，他们分别是：旋转、伸缩、平移、共轭反演。这从表达式中可以清楚地看出，

莫比乌斯变换最重要的性质就是保圆性，旋转、伸缩、平移、共轭的保圆性不多用说，所以最关键是说明反演的保圆性。

题主所问的是上面的特例， 经共轭反演后为

需要特别说明的，凡经过反演中心的圆，会被映射为直线，但是我们认为直线是半径无穷大的圆。