有限覆盖定理和实数连续性有什么关系？ 第1页

你的感觉没错，确实容易产生这样的感觉。因为紧致性（简称紧性）的定义本身是与实数连续性没什么关系的（我更愿意称这里的“连续性”为完备性，因为我总感觉连续性是用来描述映射的，完备性更科学一点）。

首先，什么是紧性？就是任意开覆盖都有有限子覆盖。怎么理解呢？实际上，紧性就意味着一种“有限性”。它仿佛条条框框的约束，把一个集合的性质约束得很“有限”，这就是紧。具体来说，就是：紧集必是有界闭集。也即，如果一个集合是紧的，那么首先它不能无界，其次不能开。无界和开有一种共性：没有边界（boundary），也就是没有了“紧”的束缚。反例当然很容易举，随处可查。通过阅读反例你大概可以更理解到我的意思，也可以明白为什么这样定义紧性。

那么，这又与实数的完备性有什么关系呢？实数的完备性指出的是，在实数集中，有界闭集都是紧的，结合上述文字，也即这二者等价。仅以 为例，我们来回想一下这个定理的证明过程，大致是这样的：利用反证法，对一个有界闭区间，将其无限细分，且每次都存在细分的区间都不能被有限开集覆盖（否则矛盾），最终由闭区间套定理得到一个聚点，它的开邻域可以覆盖无限细分的那个区间，矛盾。这里哪用到了完备性呢？闭区间套定理。

怎样直观理解这个证明的想法？实际上我们可以倒过来看。一个孤立点当然是紧的，可以说它的一切都被限制（约束）了。由于实数的完备性，每个孤立点之间没有“空隙”，因此，它们可以共有这种紧性，也就是说，可以把这种紧性“连起来”，从而整体上也表现出紧性。反之，若我们考虑不完备的空间，那么在“连接”的过程中就会出现连接处“连不上了”的情形，也就是连接处没有边界，从而破坏了约束（紧性）。这在证明中就体现为，每个有界闭区间都可以化归到它的一个聚点上去处理，如果全空间不完备，恐怕就不能如此操作了。

简言之， 的完备性保证了紧性的“不变性”。反过来也成立，可以想一想如何用有限覆盖定理去证明其他的完备性定理。

讲得直观，缺乏严谨性，词不达意，望有所帮助。