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如何估计交集测度大小? 第1页

  

user avatar   zhai-sen-8 网友的相关建议: 
      

我还是来详细写写这个题吧,就是用评论区说的vitali covering(虽然原定理是关于球的,但立方体的同理,询问过题主立方体不能是倾斜的了。证明见本文最后),并且把系数 加强到 。

首先注意到 是可测集,因为 是开立方体的并集,即开集。

先讨论 是有限集 的情形。根据vitali covering,存在其中无交的立方体 ( )使得 。因此

再讨论一般的 的情形。因为 有界,所以测度有限,因此对任何 ,存在紧集 使得 [1]。因为 ,所以存在有限子覆盖 使得 。令 。根据刚才有限情形已证的,

这是对任何 都成立的,因此


附:立方体版本的vitali covering的证明:

引理 如果 是一系列开立方体,则存在其中无交的立方体 使得 ,其中 。

证明:(来自Stein[2])一个非常关键的观察是,如果立方体 (下图黑色,设边长为 )与立方体 (下图绿色)相交,且 比 稍小一点,那么 一定落在以 的中心为中心,边长为 的立方体 (下图蓝色)内。

因此,

所以我们可以这样选无交的 :先从 选最大的(记为 ),然后删掉与 相交的。那么删掉的恰好都在 内。此时选出的 占(选出+删掉)的测度比例就至少是 。依次这样操作。每一轮选出的占(选出+删掉)的测度比例都至少是 ,因此命题得证。

参考

  1. ^ Stein, Real Analysis, Chapter 1, Theorem 3.4(iii)
  2. ^ Stein, Real Analysis, Chapter 3, Lemma 1.2



  

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