赋范空间和度量空间都可以定义极限，为什么要引入两个能定义极限的空间呢，区别是什么，各自有哪些应用范围？ 第1页
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dhchen 网友的相关建议:
谢邀，很多答主都提到了线性结构的问题，也就是度量本身不具备线性结构。但是这带来造多结构上的差别，我就举个例子，比如在赋范空间中闭球是开球的闭，也就是
的闭包恰好是 .
但是你同样定义度量空间上的开球和闭球就没有这个性质。举个例子把，
我们在 定义离散度量： , 然后我们发现开球
, 你会发现闭球 显然不是原开球的闭包。这个细微的区别在应用的是时候差别是不小的。
有人说，不对，你这样定义的度量引导出来的拓扑和原来不一样，所以才出现这个问题。好，我这样定义
,
你会发现这个度量引导出来的拓扑和一般实数空间是一样的，因为局部基是一样的。 但是同样的问题： 的闭包不是
这就是范数这个结构带来的，这个结构很棒。
其实在单纯定义极限这个问题上，度量就够了。但是，如果范数这个结构会给你带来很多漂亮的性质。这里我就不具体展开了，为什么我们要引入某个概念，因为这个概念能把某些性质分离出来方便我们研究。
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