赋范空间和度量空间都可以定义极限，为什么要引入两个能定义极限的空间呢，区别是什么，各自有哪些应用范围？ 第1页
1
dhchen 网友的相关建议:
谢邀，很多答主都提到了线性结构的问题，也就是度量本身不具备线性结构。但是这带来造多结构上的差别，我就举个例子，比如在赋范空间中闭球是开球的闭，也就是
的闭包恰好是 .
但是你同样定义度量空间上的开球和闭球就没有这个性质。举个例子把，
我们在 定义离散度量： , 然后我们发现开球
, 你会发现闭球 显然不是原开球的闭包。这个细微的区别在应用的是时候差别是不小的。
有人说，不对，你这样定义的度量引导出来的拓扑和原来不一样，所以才出现这个问题。好，我这样定义
,
你会发现这个度量引导出来的拓扑和一般实数空间是一样的，因为局部基是一样的。 但是同样的问题： 的闭包不是
这就是范数这个结构带来的，这个结构很棒。
其实在单纯定义极限这个问题上，度量就够了。但是，如果范数这个结构会给你带来很多漂亮的性质。这里我就不具体展开了，为什么我们要引入某个概念，因为这个概念能把某些性质分离出来方便我们研究。
1
相关话题
在初等数学范围内，是否所有拥有递推公式的数列都可求对应的通项公式？请问这道数学分析题目应该怎么做呢？
狄利克雷函数（Dirichlet Function）有什么用处？
如何证明矩形与集合边界有交集？
这个不等式怎么做？
认为大学基础物理比数分简单很多，是说明自己更擅长学物理吗？
大一数学分析学习是偏证明还是偏计算？
「初等函数在其定义域内必连续」的说法是对是错，为什么？
g为R→R的函数且g(g(x))=-x^13-x，怎么证明g不可导？
如何证明这个实分析的不等式？
前一个讨论
怎样学好动态规划？
相关的话题
思考一个问题，任意给定一个非零有理数和一个无理数，能否通过加减（可以无限次）使极限收敛到整个实数集？大一数学系学生先学高数是否会有助于学习数学分析？数学分析入门很难该如何应对？
如何证明这个结果?
为什么 0.9 的循环等于 1？
这个极限怎么凑成积分?
如何计算此多重积分不等式？
这个题如何用Stolz定理？
条件收敛级数重排问题，为什么这种想法很荒唐？
数学专业里的微积分叫做数学分析，那概率论和线性代数叫什么（正式分支名称）？
这个含正弦函数的和式极限怎么求?
怎么解决这个积分题目？
如何去构造一个酉矩阵？
全体质数的倒数和是发散的还是收敛的？如果收敛，收敛到多少？（多重问题预警）?
为什么房价的涨幅不可能长期超过“GDP涨幅+通货膨胀”?
对于数学分析、微分方程、复变、代数学、拓扑学等数学课程你都见过哪些很有自己一派风格而不落俗套的教材?
已知一个函数在实数域内连续，并且为周期函数，如何证明它在实数域内一致连续？
「泛函」究竟是什么意思？
如果规定数 j 满足 j 的绝对值为 -1 ，数集会不会有新的扩充？
各位积佬们这个积分有什么好的思路吗？
不定积分∫dx/(2 + sinx)在x = π+2kπ处，为何会这样？这是不定积分的某种“特性”吗？
如何去构造一个酉矩阵？
连续函数一定可积吗?
你们会觉得测度论反直觉吗？
如何证明这个"推广的Riemann重排定理"？
为什么我们可以用平面取一点来证明概率为零事件能发生？
请问(sinx)^3怎么用幂级数展开？
如何估计如下的无穷积分不等式？
求帮忙解一下这道题？
如何评价「泛函、映射、算子、变换都是函数，是搞数学的人骗普通人的把戏」这一说法？实际情况如何？
lnx 的 0.5 阶导数是什么？