赋范空间和度量空间都可以定义极限，为什么要引入两个能定义极限的空间呢，区别是什么，各自有哪些应用范围？ 第1页
1
dhchen 网友的相关建议:
谢邀，很多答主都提到了线性结构的问题，也就是度量本身不具备线性结构。但是这带来造多结构上的差别，我就举个例子，比如在赋范空间中闭球是开球的闭，也就是
的闭包恰好是 .
但是你同样定义度量空间上的开球和闭球就没有这个性质。举个例子把，
我们在 定义离散度量： , 然后我们发现开球
, 你会发现闭球 显然不是原开球的闭包。这个细微的区别在应用的是时候差别是不小的。
有人说，不对，你这样定义的度量引导出来的拓扑和原来不一样，所以才出现这个问题。好，我这样定义
,
你会发现这个度量引导出来的拓扑和一般实数空间是一样的，因为局部基是一样的。 但是同样的问题： 的闭包不是
这就是范数这个结构带来的，这个结构很棒。
其实在单纯定义极限这个问题上，度量就够了。但是，如果范数这个结构会给你带来很多漂亮的性质。这里我就不具体展开了，为什么我们要引入某个概念，因为这个概念能把某些性质分离出来方便我们研究。
1
相关话题
如何证明牛顿―莱布尼兹公式？为什么现代数学经常会关心整体性质？能不能举例详细说说？
收敛的序列是否存在单调的子序列（不要求严格单调）？
请问这道高数题怎么做？是琴生不等式吗？
设有界函数在某一闭区间上的不连续点为{Xn}，且极限寻在，证明该函数在这个闭区间可积？
为何可以用不动点法求数列通项公式，可不可以解释一下？
如何用数学严谨证明 宾语前置=前置宾语?
如何求得这个级数的和函数？
这个数列有界如何证明？
为什么 sin(x)/x 积不出来？
前一个讨论
怎样学好动态规划？
相关的话题
如何证明这个实分析的不等式？数学专业里的微积分叫做数学分析，那概率论和线性代数叫什么（正式分支名称）？
这个全椭圆积分和beta函数的关系该怎么证明？
请问这道极限怎么做？
如何证明下面的分析不等式？
既然负数开平方可以拓展出一个复数系，那 1/0 也可以拓展出新的数系吗？
求极限lim(1/(3^1+1)+1/(3^2+1)+...+1/(1+3^n))？
复变函数、实分析、复分析、数学分析是什么关系？
想问下大神连续函数不一定有界的证明?
高等数学中 ϵ 和 ε 哪种字体更常用于刻画极限？
是否任一无穷集合都能分成两个等势的不交集合之并？
请问怎样去证明？
如下图，这个级数如何求出来呢？
为什么有理数 1/49 看起来这么像是个无限不循环小数？循环节在哪里？
为何可以用不动点法求数列通项公式，可不可以解释一下？
数学分析中的两个反例是否有更深的背景？
如何证明 1+1/4+1/9+1/16+1/25+…=π²/6？
大佬请帮我理解一下这个有关dx的正规数学表达？
这个正项级数的敛散性怎么证？
请问下面这个命题成立吗？
如何处理{nx_n}这个数列？
大一数学分析学习是偏证明还是偏计算？
有限覆盖定理和实数连续性有什么关系？
可微函数在几何上有何特征？
所有函数都能被表示成一个增函数和一个减函数的和吗？
如何判断这个习题中的数列是否收敛？
1+2+3+4+…n和∫ xdx （X从1到n）之间的关系是什么？
为什么无穷多个无穷大的乘积不一定是无穷大？
一个积分不等式，该怎么处理？
这类题目怎么做呢？