@予一人 大佬的回答已经非常全面了,这里我就补一下他用到的两个常用级数的公式推导:
已知 ,对两侧求从0到z的定积分,得:
令z=i,得:
我们不难通过莱布尼茨判别法发现上面两个级数都是收敛的。
由于 ,等式左侧变形为:
对比一下等式右侧的实部与虚部,可以发现: