数学界有哪些未解之谜？ 第1页
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sunt-ing 网友的相关建议:
1. 密码学鬼才王♂琦提过，拿π的任意一段比较长的小数序列统计一下，就会发现各个数字出现的频率基本一样，这说明π很有可能是正规的，即0到9均匀地发布在π的各个位上。
你拿出π中的某一段数字，比如12347，问下一个数字最可能是0到9中的哪个？结果每一个数字出现的概率都差不多。目前二进制形式的π的正规性已经被证明了，但十进制的至今还没有人能证明出来。
另外，在1897年，美国有个业余的数学家试图让印第安纳州议会来通过所谓的印第安纳圆周率法案，希望以法律的形式强制规定π=3.2，因为这样就能巧妙地解决化圆为方等一系列的问题！妙啊，实在是妙啊！
最终，该法案虽然通过了印第安纳州众议院的表决，但是被参议院否决了。
2. 1744年欧拉证明了e是无理数，1761年Lambert证明了π也是无理数。又过了一百多年，法国的Hermite在1873年最终证明了e是超越数（即它不是任何有理系数多项式的根）。
那么，请问，e+π 是否是无理数？谁也不知道，连王琦都证明不出！
另外，百度知道写的什么玩意儿，1761年怎么就成了17世纪了？按这个逻辑岂不是二十世纪才是生物的世纪？！！
——————— 啊，又写了不少 ———————
3. 完美长方体问题
是否存在一个棱长、面对角线和体对角线都是整数的长方体？
就是求
这一方程组的正整数解。如果有，这个由a,b,c构成的长方体就是一个完美长方体。
目前还没有找到任何完美长方体，也没有人证明完美长方体不存在。
4. 奇完全数存在性
有没有一个完全数是奇数呢？
当一个整数的所有真因子（即除了自身以外的约数）之和，恰好等于它本身时，我们称这个数是一个完全数。
比如说：第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3＝6，恰好等于本身。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14＝28，也恰好等于本身。
目前我们发现的所有完全数都是偶数，那可不可能存在一个奇数也是完全数呢？不知道。
5. 孪生素数猜想
是否存在无穷多个素数p，使得p + 2也是素数？
如果p和p + 2都是素数，那么他们俩称合在一起为一对孪生素数。
这个问题最重要的进展是由张益唐做出来的，他证明了存在无穷多个素数p，使得p + c也是素数，其中的c<70000000。
当然后来很多人改进了他的方法，目前已经证明了c<=246。
遗憾的是，这个改进的作用是有限的，各种理论计算结果表明，最多最多能改进到使得c<=6。张益唐和陶哲轩都承认了这一点。
评论区里有人说我这部分内容抄了别人的，我冷冷一笑：请问您是最近一两个月看了一个关于张益唐和南科大的高赞回答吗？没想到吧，那就是我写的。
我 抄 我 自 己 。
6. 哥德巴赫猜想
任意一个大于2的偶数，都能表示成两个素数之和。
众所周知，对于这个问题目前最接近的结果是陈景润做出来的，他用筛法证明了每一个大于4的偶数E都等于两个奇素数之和A+B或者是两个奇素数的积与和一个奇素数之和A*B+C。（他真的不是在证明1+2＝3这种幼儿园算术题！）
从那以后，几十年的时间里还是没有人解决这个问题，因为筛法已经用到极致了，现在需要新的方法了。这个新方法什么时候能出现呢？也许是明天，也许是三百年以后。
7.冰雹猜想
这个猜想有很多别名，比如3n+1猜想、角谷猜想，它是说：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1，如果它是偶数，则对它除以2，如此循环，最终都能够得到1。
如n = 6，根据上述数式，得出序列6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1。
如n = 11，根据上述数式，得出序列11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1。
如n = 27，根据上述数式，得出序列
27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
冰雹的最大魅力在于不可预知性。比如说这个27，虽然是一个貌不惊人的自然数，但是如果按照上述方法进行运算，则它的上浮下沉异常剧烈：首先，27要经过77个步骤的变换到达顶峰值，然后又经过34个步骤到达谷底值1。一共有111步，其中的峰值9232是原有数字27的342倍！
一代天骄保罗·埃尔多斯就说过他要奖500块钱给解决这个问题的人（呃，虽然钱并不多……）， Jeffrey Lagarias 甚至在2010年表示：“这个问题难到逆天，现代数学甭想整出来！”
截止至2017年，我们一个个地算啊算，已经算到了 87 * 2^60，还是没找到例外的情况。但是这并不能证明对于任何大小的数，这猜想都能成立。
我不由得想到很多年前有人一辈子都在算哥德巴赫猜想，希望找到一个不能分解成两个素数之和并且比2大的偶数，结果到死也没找到……我估计他们都想到了欧拉。你说欧拉多幸运啊，当年他算费马数，只算了第六个费马数就发现费马的素数生成公式是错的，这要是第十个、第二十个才是错的呢？那还不知道要算多久！
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唉，刚才我想到了一个绝妙的猜想，可惜电脑没电写不了！
参考资料：
https:// zh.wikipedia.org/wiki/% E5%9C%93%E5%91%A8%E7%8E%87
https://zh.wikipedia.org/wiki/E_(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%B8%B8%E6%95%B0)
https:// zh.wikipedia.org/wiki/% E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%95%B0#%E5%A5%87%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%95%B0
https:// zh.wikipedia.org/wiki/% E5%AE%8C%E7%BE%8E%E9%95%B7%E6%96%B9%E9%AB%94
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%93%A5%E5%BE%B7%E5%B7%B4%E8%B5%AB%E7%8C%9C%E6%83%B3
https:// en.wikipedia.org/wiki/C ollatz_conjecture
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%80%83%E6%8B%89%E5%85%B9%E7%8C%9C%E6%83%B3
wen-da-xue-shi-56 网友的相关建议:
椭圆曲线的秩就是数学界的一个未解之谜！
我们称形如
的 光滑曲线 为定义在 有理数域 上的 椭圆曲线，记作 .
对于椭圆曲线 ，定义集合
此集合中的元素称为椭圆曲线 上的 有理点，其中 为 无穷远点. 在 上可以定义 加法运算，使得 成为一个 群.
关于群 ，我们有著名的
Mordell-Weil 定理： 是 有限生成 的 阿贝尔群.
由Mordell-Weil 定理和有限生成的阿贝尔群的结构理论知
其中 为 的 挠子群，其元素的阶是 有限的. 而 为 的 自由部分，其元素的阶是 无限的. 我们把整数 称为椭圆曲线 的 秩，记作 . 例如
不过这些椭圆曲线的秩都比较小，当然也有秩比较大的椭圆曲线，比如
它的秩为 . 一个自然的问题是，椭圆曲线的秩可以任意大吗？这是数学界迄今为止都无法回答的一个问题！起初数学家趋向于认为椭圆曲线的秩可以任意大， 其中的一个依据是：在 2006 年，数学家 Elkies 找到了一条椭圆曲线
它有 个 线性无关 的阶为无限的有理点：
从而可知 ， 但这个秩具体是多少却不得而知. 有意思的是，在 2016 年，Klagsbrun， Sherman 和 Weigandt 发现这条椭圆曲线与下述著名的猜想有关：
广义黎曼猜想：Dirichlet -函数
的非平凡零点都位于直线 上.
他们发现：如果广义黎曼猜想成立，则有 . 这真是一个惊人的结论，因为在这之前没有人会想到椭圆曲线竟然和黎曼猜想有关！
随着对椭圆曲线的更深入研究，数学家渐渐对之前的猜测产生了怀疑，认为椭圆曲线的秩可能是有界的. 例如， Park， Poonen， Voight 和 Wood 在 2019 年发表的论文表明：秩超过 的椭圆曲线的个数可能是有限的. 这表明椭圆曲线的秩是有界的！但椭圆曲线的秩究竟有没有界？数学家还是没法给出确切的答案，这一问题算得上是数学界的未解之谜. 对这一未解之谜的探索在数学上是有重大意义的，因为它还与下述著名的猜想密切相关：
BSD 猜想：
其中 为椭圆曲线 的 -函数.
zcc-93-66 网友的相关建议:
一阶谓词逻辑的不完备性与不自洽性——哥德尔不完备定理（Godel Incompleteness Theorems）。
这一定理（实际上应该是一组两个）实际上直接宣告了希尔伯特计划永无实现之日。
哥德尔第一不完备性定理：对公式的每个ω一致的递归类κ，对应着一个递归的类记号γ，使得νGenγ或Neg(vGenγ)都不属于Flg(κ)（v是γ的自由变量）。
通俗地说就是数论（即包含皮亚诺公理体系）的所有一致的公理化形式系统都包含有不可判定的命题（何谓不可判定命题？不可判定命题就是指该命题与相应的公理体系互相独立，也就是说不可证明，也无法被证伪），换句话说，只要一个形式化的公理体系足够强，强到包含与自然数有关的公理，那么就不可能兼具完备性和相容性。
哥德尔第二不完备性定理可以认为是第一条定理的推论，这里直接用通俗化的说法，就是任何相容的形式化公理体系无法证明其自身的相容性。逻辑学家George Boolos曾开玩笑地评论这个定理“要是二加二等于五是没法证出的这事是可以证出的，那么就能证出二加二等于五”。
哥德尔的这个定理产生了震撼性的影响，简而言之，就是无论涉及什么公理体系，可证性总是弱于真理性。
正因如此，数学中就会出现一批无法被证明的命题，而且这种“不可证明”性却是可以证明的（最著名的可能就是CH了吧），直到现在也没有什么好的解决之道，因为哥德尔的定理直指数学中最为基础最为根本的部分。
@混乱博物馆 有一期视频就做了这方面的科普，此外也有一批相关的科普书籍，个人比较喜欢GEB（在视频中有介绍）。
（如有错误 ，敬请指出，侵删）
nayilus 网友的相关建议:
两个条件。1 - 易于理解， 2 - 未解
1 - 考拉兹猜想，又叫3n+1猜想，角谷猜想
取正整数，如果奇数则乘以3加1，如果偶数则除以2，那么经过有限步必然进入4 -> 2 -> 1 -> 4 ...的循环。
直至2017，所有 以下的正整数都经过机器验算，但还没有人能证明或举出反例。
鼎鼎大名的保罗·厄多斯曾表示“也许数学还没准备好解答这类问题。”2010年，美国数学家Jeffrey Lagarias表示这是个“极端困难的问题，完全超出今天的数学所能解决的范围。”
2 - 移动沙发问题
假设有L形的转角走廊，走廊宽度为1，那么面积最大多大的形状可以转过转角？
这一问题的答案被称为沙发常数，目前还未找到。
下图是英国数学家John Hammersley发明的形状，由两个四分之一圆 + 矩形 - 半圆组成，面积约为2.2074。
之后美国数学家Joseph Gerver构筑了由18段曲线拼接成的形状，将沙发常数的下限抬高到2.2195。
2017年的一份论文将沙发常数的上限大大减少，证明了该数不可能超过2.37。
3 - 内接正方形问题
画一条简单封闭曲线，形状不限，只要满足起点和终点重合，曲线不和自身相交两个条件，则一定可以找到一个正方形，四个顶点都位于该曲线上。
类似定理对于三角形和长方形都已经证明，但正方形的难度更上一级。
目前成功证明了这一猜想对于满足一些额外条件的曲线成立。如曲线为分段解析等等。
xuan-xuan-33-31 网友的相关建议:
数论里有一个比较偏僻的概念叫friendly number(友好数)
如果对于正整数 ，其中 表示 的所有正因子之和，则称他们为friendly pair，并称 为friendly number
比如30和140就是一对friendly pair
相反的，如果一个数找不到它的friend，则称它为solitary number(孤独数)，比如所有的素数都是“孤独的”（读者可以先思考一下）
然而，目前并没有好办法直接判定一个数是否是“孤独的”
比如24，它是个friendly number，但它最小的friend是91963648
“怎么这都不知道”的部分来了：10是solitary number吗?
反正今年七夕它还是一个人过的，并且有人猜测以后的七夕它一直得一个人过
突然发现我们可以出一道看似人畜无害实则完全没法做的数论题
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