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突然想到一个问题:0.9999999… 真的等于 1 吗? 第1页

  

user avatar   yu-guang-ting-92 网友的相关建议: 
      

标准拓扑认为 。如果不是标准拓扑(比如离散拓扑)就可以不等。

我想知道如何将这些问题重定向到同一个问题,省得每次回答都要贴链接。。。


user avatar   liu-yang-zhou-23 网友的相关建议: 
      

谢邀。


首先,容易看出

注意上式 和 是“或者”的关系,下面只需说明 不成立.


证明: (反证法)

假设正实数

容易得到 的上、下界:

为方便说明,我们记

这是一个单调下降有下界的数列:


请注意 , 问题就出在这儿了!

依据上式,我们得到的论断是: 无论 n 取哪个正整数,a(n)都永远永远要比 大!请注意,这是关键点!事实上这是不可能的。


计算

解上面不等式,有

但是,这个 n 真的会这么乖巧地小于 吗?

万一

那就有

这和事先说好的不一样啊!你不是说永远永远不可能的吗?说好的永远呢?

Q.E.D


总结:

通过证明所体现的矛盾,我们发现了一个这样的事实, 也就是 无论取什么正数都会产生矛盾,但 又绝不能取负数;既不能取正,也不能取负,所以只有 取 0 是无矛盾的, 这也满足序公理中的三歧性.


实际上,以上证明正是体现了 的精神,也就是极限的定义:

  • 数列 可以比任意给定的 还要靠近其极限,

  • 只要当 ,而 一定存在(想想上例中的 ,它就是 )


我们会发现极限定义描述的是一个无限的过程,它描述的是一个变量以某种程度“贴合”另一个常量的现象,我们将这个常量称之为这个变量的极限.

那么极限是否保证 “最终”会等于它的极限 ?极限的定义并没有这么说,但是我们可以定义

这样定义是无矛盾的,就像我们在上例中的说明. 而这个定义,实际上是实数的完备化……




  

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