emm问题描述里看不到论文。但听其他答主描述如果谭用了筛法的话,感觉笔者接下来给出的证明或许会比他的做法简单很多。。。
本文接下来的思路均由笔者独立构思完成,如有雷同纯属巧合。
我们将不加证明地使用这个来自初等数论的结论:
为了方便表示,我们设N为正整数、用s(x,N)表示x以内满足p+N无平方因子的个数。则有:
接下来经过传统的交换求和次序,可将(1)变成(2):
由于 ,所以当 时我们可以对蓝色部分做替换,得:
至此,我们就可以把注意力转移到等差数列上的素数分布问题了。
接下来我们将使用两个有关素数分布的结论来估计(3)。
平凡上界:
Siegel-Walfisz定理[1]:当(a,q)=1时总有 ,其中O的隐含常数只与A>0有关。其中 。
为了尽可能地发挥着两个定理的作用,我们希望将(3)的求和用某个数 分开。其中对于d>Q的时候,通过平凡上界可知:
当d≤Q的时候我们需要分类讨论。由于(a,q)>1时模q余a的素数最多只有一个,所以有:
现在套用Siegel-Walfisz定理,便得:
利用积性函数的性质,可知:
利用积分放缩,得 。把这些结果代入(6),便有:
现在设置 其中B<A。则我们可以把(8)与(5)结合,得到最终结论:
定理:对于一切H>0,若s(x,N)表示满足p≤x且p+N无平方因子的素数p之个数,则有: