数学中的错误有大错和小错的区别吗？ 第1页

大错就是无法弥补的错误。比如民科证明Fermat大定理，用的都是初等方法，不学无术，出的就是大错。任何可以弥补的错误都是小错。比如Wiles证明Fermat大定理的时候中间有个gap，花了一年才补上，后来接受采访的时候因为这件事都哭了。因为假如这个gap补不上，那他过去8年的心血就会全部白费，自己也会成为某些心胸狭隘的同行的笑柄。他的原文109页，补上这个gap大概花了20页，但仍然是小错。因为这个问题比起他的工作是微不足道的。

这里有一点又需要说明。Wiles的文章当年是Katz在审稿。Katz看到那个gap以后读不懂（109页的文章，以Katz的高超水平，一天竟然只能读几行），就问Wiles这一步怎么做。Wiles当时觉得是显然的，仔细一想才发现其实是non-trivial。假如Wiles的心理真的有一个证明，并且在Katz询问了以后很快就给出正确的回复，那么这个地方就连小错都算不上，Katz不懂就是他自己的问题了。这种事情在数学上是很多的，比如Gromov很多证明都没写清楚，有些甚至要写100页才能补充完整，但是Gromov说，他想出这些idea已经很累了，就没有精力写证明。他有很多sketch of proof，基本上都讲到了证明的key point，这就不算错。他的文章还是发表在顶级杂志上。因为他的originality太高了，区区证明细节相对于他的工作而言不算什么，应该尊重他的风格，不能用细枝末节刁难大师。最重要的是他写下来的每一个定理都是对的，而那些整天叫嚣证明的人并没有这个本事：他们只会证明一些trivial的结果，辛苦奋斗几十年，还是一个教书匠。

Hilbert的论文里面，有许多估计和常数都算错了，但是因为Hilbert对什么样的数学是对的，什么是错的有很好的感觉，所以这些错误完全没有影响到他想要证明的定理，都是可以弥补的。所以这些瑕疵对于Hilbert 20世纪早期全世界最伟大数学家的声誉也没什么影响。

另外，Newton，Leibniz，Riemann，Cauchy这些微积分和复变量微积分的创始人们证明的大量结果都不严格，因为微积分的严格化要等到19世纪中期Weierstrss把极限的定义严格化。但是这几位在不严格的基础上居然能得出很多正确而且重要的结果，历史就承认了他们的贡献。比如Cauchy积分定理，Riemann映射定理的证明都是错的，而且他们的证明其实是大错，有基本概念上的错误和混淆。但是即使是大错，在他们开天辟地的工作面前也不值一提。要知道，在一个严格的基础上用逻辑一步步推出一些东西不是太难的，难的是在数学还不严格的时候，通过惊人的直觉发现什么是对的，这就超越了证明和逻辑，这才是数学的发展真正需要的东西。真正重要的数学进展绝不可能是通过逻辑发现的，但这是需要天赋的，不是努力就可以做到。所以有时候所谓的大错其实也很微小。

在我看来如果你坚持自己独立做工作而不是混在一起吃大锅饭，小错是不能避免的，尤其是现在论文越来越长，很少有数学家愿意去写那种几页的notes了。至少在我这个方向，一流的数学家都是在不断产出几十页上百页的大paper的。即使是Donaldson这么谨慎的数学家，一生也难免偶尔出一些小错（其实他有些paper里具体的估计和常数计算也不是很仔细的）。Seidel这么精细的人，arxiv上的文章页经常改动到v6甚至v8。既然是可以弥补的，其实这些也就不算是错误了。但是数学家往往追求完美，尤其是对发表出来的东西，如果里面有点小毛病，心里就不自在。