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原命题与逆否命题真假性一定相同吗? 第1页

  

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预备知识

设系统 内的公理集 为:

其中 , 和 是合式公式。

系统 只有一条推理规则,称为分离规则

从 和 可以推出 。

证明

定理(演绎定理)

为公式集, 当且仅当

证明:

运用归纳法证明,过程就不写了,就说说需要证明的各种情况:

  • 若 或 或 ,这三种情况都是显然的,最后一种运用公理 即可证明;
  • 否则,设 为从 到 的一个推演序列,其中 ,于是我们可以不断地使用分离规则,最终得到 ;

显然。

推论(逆否命题)

当且仅当

证明:由演绎定理可知:

重言蕴含 ,使用公理

又 重言蕴含 ,故

由分离规则即得:

最后由演绎定理得


参考文献:

《数理逻辑证明及其限度》




  

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