度量拓扑对应度量如果不满足交换律，那么这个“度量”是否还能诱导相同的拓扑? 第1页

这种不交换的度量的一个例子是，从甲到乙的距离是从甲地开车去乙地用的时间。比如说，一条路有一个方向很容易走，另一个方向却堵车。这样的度量应当依然满足（方向一致的）三角不等式。

我们设 是集合， 是映射，满足对于任意的 ，

很自然地，我们把 上的开球定义为 。如果把 理解成跑过去的时间，那么开球就是从 处出发车程 小时以内能走到的范围。如果想要把开球定义成 也没啥区别——把 反过来就行了。

结论是，这种东西也能能构成一个拓扑基。

一组集合 构成拓扑基的充要条件是

我们仿照对称度量的证明重写一遍：

如果 满足 ，对每个 记 ，则因为 所以 。

再记 ，则 所以 。任意 以及 ，

所以 。

这就证明了 ，从而所有开球构成拓扑基。

题主的问题是：

但是，在这个基的证明过程中，貌似没用到度量的交换律，请问是什么原因？是比较隐晦，还是确实没用到？那去掉交换律的“度量”还能诱导拓扑吗？如果能，诱导的拓扑与原始的度量一样吗？

现在就得到了回答——确实没用到交换律，去掉了依然能诱导拓扑。至于诱导的拓扑一样不一样的问题，你用的度量一样拓扑就一样呀。

课后习题

1. 举一个拓扑空间的例子，它不是度量空间，但是是不对称度量定义出的空间——或者证明这样的例子不存在。
2. 如果把开球的定义改成 ，其中 是正数，所有的开球依然是拓扑基吗？